京都大学 文系 2026年度 第1問 解説
問題編
問題
$t$ は $0\lt t \lt 1$ を満たす実数とする。座標平面において、円 $C: x^2+y^2=1$ 上で、 $y$ 座標が $t$ であり、さらに第1象限にある点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の接線を $l$ とし、放物線 $y=2-x^2$ と接線 $l$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする。 $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $S$ の最小値を求めよ。
考え方
$x$ 座標ではなく $y$ 座標が $t$ であることに注意しましょう。 $x$ 座標を $t$ とおいても解けないことはないですが、計算がかなりハードになります。
解答編
問題
$t$ は $0\lt t \lt 1$ を満たす実数とする。座標平面において、円 $C: x^2+y^2=1$ 上で、 $y$ 座標が $t$ であり、さらに第1象限にある点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の接線を $l$ とし、放物線 $y=2-x^2$ と接線 $l$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする。 $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $S$ の最小値を求めよ。
解答
点 $\mathrm{P}$ の座標は $(\sqrt{1-t^2},t)$ と書ける。 $\mathrm{OP}$ の傾きは\[ \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \] なので、 $l$ の傾きは\[ -\frac{\sqrt{1-t^2}}{t} \]だから、$l$ の方程式は
\begin{eqnarray}
y &=& -\frac{\sqrt{1-t^2}}{t} \left(x-\sqrt{1-t^2}\right) +t \\[5pt]
&=& -\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}x +\frac{1-t^2}{t} +t \\[5pt]
&=& -\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}x +\frac{1}{t} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
$y=2-x^2$ は $0\leqq x \leqq 1$ のとき $y\geqq 1$ なので、 $y\leqq 2-x^2$ の範囲に円 $C$ は完全に含まれるので、接線 $l$ と放物線とは必ず2点で交わる。その交点の $x$ 座標を、小さいほうから $\alpha,\beta$ とすると、面積 $S$ は
\begin{eqnarray}
S
&=& \int_\alpha^\beta \left\{ (2-x^2)-\left(-\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}x +\frac{1}{t}\right) \right\} dx \\[5pt]
&=& -\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx \\[5pt]
&=& \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{eqnarray}となる。 $\beta-\alpha\gt 0$ なので、以下では、 $\beta-\alpha$ が最小となる場合を考える。
$\alpha,\beta$ は二次方程式
\begin{eqnarray}
(2-x^2)-\left(-\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}x +\frac{1}{t}\right) &=& 0 \\[5pt]
x^2-\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}x +\frac{1}{t}-2 &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}の解なので
\begin{eqnarray}
(\beta-\alpha)^2
&=&
(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\[5pt]
&=&
\left(\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}\right)^2-4\left(\frac{1}{t}-2\right) \\[5pt]
&=&
\frac{1-t^2}{t^2}-\frac{4}{t}+8 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{t^2}-\frac{4}{t}+7 \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{t}-2\right)^2-4+7 \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{t}-2\right)^2+3 \\[5pt]
\end{eqnarray}となるから、 $t=\dfrac{1}{2}$ のときに、 $\beta-\alpha$ は最小値 $\sqrt{3}$ となることがわかる。このとき、面積 $S$ も最小となり、その値は
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{6} (\beta-\alpha)^3 \\[5pt]
&=& \frac{1}{6} (\sqrt{3})^3 \\[5pt]
&=& \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}となる。…（答）
解答編 つづき
参考
もし、 $x$ 座標の方を $t$ としてしまうと、以下のようになります。文系の範囲でも解けなくはないですが、計算はハードになります。
点 $\mathrm{P}$ の座標は $(t,\sqrt{1-t^2})$ と書ける。 $\mathrm{OP}$ の傾きは\[ \frac{\sqrt{1-t^2}}{t} \] なので、 $l$ の傾きは\[ -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \]だから、$l$ の方程式は
\begin{eqnarray}
y &=& -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}(x-t) +\sqrt{1-t^2} \\[5pt]
&=& -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x +\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} +\sqrt{1-t^2} \\[5pt]
&=& -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x +\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
接線 $\ell$ と放物線との交点の $x$ 座標を、小さいほうから $\alpha,\beta$ とすると、面積 $S$ は
\begin{eqnarray}
& &
S \\[5pt]
&=& \int_\alpha^\beta \left\{ (2-x^2)-\left(-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x +\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right) \right\} dx \\[5pt]
&=& -\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx \\[5pt]
&=& \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{eqnarray}となる。 $\beta-\alpha\gt 0$ なので、以下では、 $\beta-\alpha$ が最小となる場合を考える。
$\alpha,\beta$ は二次方程式
\begin{eqnarray}
(2-x^2)-\left(-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x +\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right) &=& 0 \\[5pt]
x^2-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2 &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}の解なので
\begin{eqnarray}
(\beta-\alpha)^2
&=&
(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\[5pt]
&=&
\left(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\right)^2-4\left(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2\right) \\[5pt]
&=&
\frac{t^2}{1-t^2}-\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}+8 \\[5pt]
&=&
-1+\frac{1}{1-t^2}-\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}+8 \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2\right)^2-4+7 \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2\right)^2+3 \\[5pt]
\end{eqnarray}となるから、\[ \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2=0 \]となることがあれば、そのときに $\beta-\alpha$ は最小値 $\sqrt{3}$ となることがわかる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}-2 &=& 0 \\[5pt]
\sqrt{1-t^2} &=& \frac{1}{2} \\[5pt]
1-t^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt]
t^2 &=& \frac{3}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のときに、 $\beta-\alpha$ は最小値 $\sqrt{3}$ となることがわかる。このとき、面積 $S$ も最小となり、その値は
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{6} (\beta-\alpha)^3 \\[5pt]
&=& \frac{1}{6} (\sqrt{3})^3 \\[5pt]
&=& \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}となる。…（答）
