センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第2問 解説
【必答問題】
問題編
問題
関数 $f(x)=x^3-5x^2+3x-4$ について考える。
(1) 関数 $f(x)$ の増減を調べよう。 $f(x)$ の導関数は\[ f'(x) = \myBox{ア}x^2 -\myBox{イウ}x+\myBox{エ} \]であり、 $f(x)$ は $x=\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ で極大値、 $x=\myBox{キ}$ で極小値をとる。よって、 $x\geqq 0$ の範囲における $f(x)$ の最小値は $\myBox{クケコ}$ である。
また、方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は $\myBox{サ}$ 個である。(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0,f(0))$ における接線を l とすると、 l の方程式は $y=\myBox{シ}x-\myBox{ス}$ である。また、放物線 $y=x^2+px+q$ を C とし、 C は点 $(a,\mybox{シ}a-\mybox{ス})$ で l と接しているとする。このとき、 p, q は a を用いて\[ p=\myBox{セソ}a+\myBox{タ}, \ q=a^{\myBox{チ} }-\myBox{ツ} \]と表される。
(3) (2)の放物線 C は、 $0\leqq x \leqq 1$ の範囲では、 x 軸とただ1点 $(\beta,0)$ で交わり、 $0\lt \beta \lt 1$ であるとする。このとき、 $g(x)=x^2+px+q$ とおけば\[
g(0)g(1) = a(a+\myBox{テ})(a-\myBox{ト})^2 \lt 0 \]である。 $(a-\mybox{ト})^2$ は負にならないので、 a の値の範囲は $\myBox{ナニ} \lt a \lt \myBox{ヌ}$ であり、 $g(0)\myBox{ネ}0$, $g(1)\myBox{ノ}0$ である。ただし、 $\myBox{ネ}$ と $\myBox{ノ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 2 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。0: $\lt$
1: $=$
2: $\gt$放物線 C の $0\leqq x \leqq \beta$ の部分と、 x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積を S とする。また、 C の $\beta \leqq x \leqq 1$ の部分と、 x 軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を T とする。このとき、 a の値によらず、\[ \int_0^1 g(x)dx = \myBox{ハ} \]が成り立つ。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0 から 7 のうちから一つ選べ。
0: $S+T$
1: $\dfrac{S+T}{2}$
2: $2S+T$
3: $2T+S$
4: $S-T$
5: $T-S$
6: $2S-T$
7: $2T-S$したがって、 $S=T$ となる a の値を求めると\[ a = \frac{\myBox{ヒ}-\sqrt{\myBox{フヘ} }}{\myBox{ホ} } \]である。
考え方
(1)から、いきなり増減表をかいて考える問題です。どれも基本的な問題ですが、序盤にしては難しめです。
(2)は、「接する」という条件をどう使うかがポイントです。判別式が0であること、接線の係数や接点が同じであることを利用する方法がありますが、文字が多いので煩雑になってしまいます。係数比較を使うのが一番簡単でしょう。
(3)は、(2)ができていないとまったくできません。前半は、放物線の位置関係を求めるための問題です。これを利用して後半の積分を考えます。 S や T を直接求める必要はありません。
p, q を a の式に置き換えるのは、最後の最後にしたほうがいいでしょう。積分をする前に代入すると、ごちゃごちゃしてしまうので大変です。
【必答問題】
解答編
問題
関数 $f(x)=x^3-5x^2+3x-4$ について考える。
(1) 関数 $f(x)$ の増減を調べよう。 $f(x)$ の導関数は\[ f'(x) = \myBox{ア}x^2 -\myBox{イウ}x+\myBox{エ} \]であり、 $f(x)$ は $x=\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ で極大値、 $x=\myBox{キ}$ で極小値をとる。よって、 $x\geqq 0$ の範囲における $f(x)$ の最小値は $\myBox{クケコ}$ である。
また、方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は $\myBox{サ}$ 個である。
解説
$f(x)$ を微分すると\[ f'(x)=3x^2-10x+3 \] が得られます。また、 $f'(x)=0$ となる x は
\begin{eqnarray}
3x^2-10x+3 &=& 0 \\[5pt]
(3x-1)(x-3) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}より、 $x=3,\dfrac{1}{3}$ であることがわかります。増減表を書くと、次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & \dfrac{1}{3} & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
f' & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
f & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array}このことから、極大値は $x=\dfrac{1}{3}$, 極小値は $x=3$ のときにとることがわかります。
次に、 $x\geqq 0$ での最小値を求めます。極小値は
\begin{eqnarray}
f(3)
&=&
3^3-5\cdot 3^2 +3\cdot 3-4 \\[5pt]
&=&
27-45+9-4 \\[5pt]
&=&
-13 \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $f(0)=-4$ だから、極小値が最小値になることがわかります。よって、 $x=3$ のときに、最小値 $-13$ をとることがわかります。
また、極大値は
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{1}{3}\right)
&=&
\frac{1}{3^3} -\frac{5}{3^2} +\frac{3}{3} -4 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+1-4 \\[5pt]
&=&
-\frac{95}{27} \\[5pt]
&\lt&
0
\end{eqnarray}となるため、 $f(x)=0$ となる実数解の個数は、1個だとわかります。
解答
アイウエ：3103
オカキ：133
クケコ：-13
サ：1
解答編 つづき
問題
(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0,f(0))$ における接線を l とすると、 l の方程式は $y=\myBox{シ}x-\myBox{ス}$ である。
解説
\[ f'(x) = 3x^2-10x+3 \]だったので、 $f'(0)=3$ です。また、 $f(0)=-4$ なので、 l の方程式は
\begin{eqnarray}
y &=& 3x-4
\end{eqnarray}となります。
解答
シス：34
解答編 つづき
問題
また、放物線 $y=x^2+px+q$ を C とし、 C は点 $(a,\mybox{シ}a-\mybox{ス})$ で l と接しているとする。このとき、 p, q は a を用いて\[ p=\myBox{セソ}a+\myBox{タ}, \ q=a^{\myBox{チ} }-\myBox{ツ} \]と表される。
解説
点 $(a,3a-4)$ で C と l が接することから
\begin{eqnarray}
x^2+px+q &=& 3x-4 \\[5pt]
x^2+(p-3)x+(q+4) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}は重解 $x=a$ を持つことがわかります。このことと、 $x^2$ の係数が $1$ であることから、最後の式の左辺は $(x-a)^2$ と等しくなります。
\begin{eqnarray}
(x-a)^2 &=& x^2-2ax+a^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、係数を比較して
\begin{eqnarray}
p-3 &=& -2a , \\
q+4 &=& a^2
\end{eqnarray}が得られます。これより、
\begin{eqnarray}
p &=& -2a+3 , \\
q &=& a^2-4
\end{eqnarray}となります。
解答
セソタ：-23
チツ：24
解答編 つづき
問題
(3) (2)の放物線 C は、 $0\leqq x \leqq 1$ の範囲では、 x 軸とただ1点 $(\beta,0)$ で交わり、 $0\lt \beta \lt 1$ であるとする。このとき、 $g(x)=x^2+px+q$ とおけば\[
g(0)g(1) = a(a+\myBox{テ})(a-\myBox{ト})^2 \lt 0 \]である。
解説
(2)の結果から
\begin{eqnarray}
p &=& -2a+3 , \ q &=& a^2-4
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
g(0)g(1)
&=&
q(1+p+q) \\[5pt]
&=&
(a^2-4)(1-2a+3+a^2-4) \\[5pt]
&=&
(a+2)(a-2)(a^2-2a) \\[5pt]
&=&
a(a+2)(a-2)^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
テト：22
解答編 つづき
問題
$(a-\mybox{ト})^2$ は負にならないので、 a の値の範囲は $\myBox{ナニ} \lt a \lt \myBox{ヌ}$ であり、 $g(0)\myBox{ネ}0$, $g(1)\myBox{ノ}0$ である。ただし、 $\myBox{ネ}$ と $\myBox{ノ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 2 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
0: $\lt$
1: $=$
2: $\gt$
解説
\[ g(0)g(1)=a(a+2)(a-2)^2 \lt 0 \]について、 $(a-2)^2$ が負になることはないので、 $a(a+2)\lt 0$ という条件を考えればいいことがわかります。これから、\[ -2 \lt a \lt 0 \]が求める範囲だとわかります。
\[ g(0)=a^2-4 \]なので、 $-2 \lt a \lt 0$ の範囲では $g(0)\lt 0$ となることがわかります。 $g(0)g(1)\lt 0$ なので、 $g(1)\gt 0$ もわかります。
解答
ナニヌ：-20
ネノ：02
解答編 つづき
問題
放物線 C の $0\leqq x \leqq \beta$ の部分と、 x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積を S とする。また、 C の $\beta \leqq x \leqq 1$ の部分と、 x 軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を T とする。このとき、 a の値によらず、\[ \int_0^1 g(x)dx = \myBox{ハ} \]が成り立つ。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0 から 7 のうちから一つ選べ。
0: $S+T$
1: $\dfrac{S+T}{2}$
2: $2S+T$
3: $2T+S$
4: $S-T$
5: $T-S$
6: $2S-T$
7: $2T-S$したがって、 $S=T$ となる a の値を求めると\[ a = \frac{\myBox{ヒ}-\sqrt{\myBox{フヘ} }}{\myBox{ホ} } \]である。
解説
$g(0)\lt 0$, $g(1)\gt 0$ なので、 放物線 C の $0\leqq x \lt \beta$ の部分は x 軸の下、 $\beta \lt x \leqq 1$ の部分は x 軸の上にあることがわかります。よって
\begin{eqnarray}
S
&=&
-\int_0^{\beta} g(x)dx \ , \ \\[5pt]
T
&=&
\int_{\beta}^1 g(x)dx \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。このことから、
\begin{eqnarray}
\int_0^1 g(x)dx
&=&
T-S
\end{eqnarray}が得られます。
\begin{eqnarray}
\int_0^1 g(x)dx
&=&
\int_0^1 (x^2 +px +q)dx \\[5pt]
&=&
\left[\frac{x^3}{3}+\frac{px^2}{2}+qx \right]_0^1 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{3}+\frac{p}{2}+q \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $S=T$ となるのは、これが 0 となるときだから、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}+\frac{p}{2}+q &=& 0 \\[5pt]
2+3p+6q &=& 0 \\[5pt]
2+3(-2a+3)+6(a^2-4) &=& 0 \\[5pt]
2-6a+9+6a^2-24 &=& 0 \\[5pt]
6a^2-6a-13 &=& 0 \\[5pt]
a &=& \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 6 (-13)} }{12} \\[5pt]
&=& \frac{3 \pm \sqrt{9+78} }{6} \\[5pt]
&=& \frac{3 \pm \sqrt{87} }{6} \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られます。ここで、今考えている範囲は $-2 \lt a \lt 0$ であり、$9 \lt \sqrt{87} \lt 10$ なので、\[ a = \frac{3 -\sqrt{87} }{6} \]が求める値であることがわかります。
解答
ハ：5
ヒフヘホ：3876
