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センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 $x\gt 1$, $y\gt 0$ の範囲にある x, y が\[ (2y)^{\log_4 x} =16 \quad \cdots ① \]を満たすとき、 $A=x\sqrt{y}$ の最小値を求めよう。

 $s=\log_2 x$, $t=\log_2 y$ とおく。 x が $x\gt 1$ の範囲にあるとき、 s のとり得る値の範囲は $s \gt [ア]$ である。また、 $\log_2 A$ を st を用いて表すと\[ \log_2 A = s+\frac{t}{[イ]} \quad \cdots ② \]である。

 底の変換公式により\[ \log_4 x=[ウ]s \quad \cdots ③ \]が成り立つ。[ウ] に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。
 0: $\displaystyle -\frac{1}{4}$, 1: $\displaystyle -\frac{1}{2}$, 2: $-2$, 3: $-4$,
 4: $\displaystyle \frac{1}{4}$, 5: $\displaystyle \frac{1}{2}$, 6: $2$, 7: $4$

 ①の両辺の $2$ を底とする対数をとると、③により\[ s(t+[エ])=[オ] \quad \cdots ④ \]が成り立つ。②, ④により、 $\log_2 A$ を s を用いて表すと\[ \log_2 A = s +\frac{[カ]}{s} -\frac{[キ]}{[ク]} \]となる。
 $s\gt [ア]$ であることに注意すると、 $\log_2 A$ は $s=[ケ]$ のとき最小値をとることがわかる。

 したがって、 A は $x=[コ]$, $y=[サ]$ のとき、最小値 $[シ]\sqrt{[ス]}$ をとる。

考え方

少しごちゃごちゃしていますが、誘導が丁寧なので落ち着いて計算していけば問題ないでしょう。対数の計算、底の変換公式など、基本的な計算がメインです。終盤は、相加相乗平均の関係を使いましょう。


解答編

問題

 $x\gt 1$, $y\gt 0$ の範囲にある x, y が\[ (2y)^{\log_4 x} =16 \quad \cdots ① \]を満たすとき、 $A=x\sqrt{y}$ の最小値を求めよう。

 $s=\log_2 x$, $t=\log_2 y$ とおく。 x が $x\gt 1$ の範囲にあるとき、 s のとり得る値の範囲は $s \gt [ア]$ である。また、 $\log_2 A$ を st を用いて表すと\[ \log_2 A = s+\frac{t}{[イ]} \quad \cdots ② \]である。

解説

$x=1$ とすると、 $\log_2 x=0$ なので、 $s\gt 0$ が得られます。

また
\begin{eqnarray} \log_2 A &=& \log_2 x\sqrt{y} \\[5pt] &=& \log_2 x +\log_2 \sqrt{y} \\[5pt] &=& \log_2 x +\frac{\log_2 y}{2} \end{eqnarray}なので、\[ \log_2 A=s+\frac{t}{2} \]が得られます。

解答

ア:0
イ:2

解答編 つづき

問題

 底の変換公式により\[ \log_4 x=[ウ]s \quad \cdots ③ \]が成り立つ。[ウ] に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。
 0: $\displaystyle -\frac{1}{4}$, 1: $\displaystyle -\frac{1}{2}$, 2: $-2$, 3: $-4$,
 4: $\displaystyle \frac{1}{4}$, 5: $\displaystyle \frac{1}{2}$, 6: $2$, 7: $4$

解説

$s=\log_2 x$ が出てくるように底の変換公式を使って変形すると
\begin{eqnarray} \log_4 x &=& \frac{\log_2 x}{\log_2 4} \\[5pt] &=& \frac{\log_2 x}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、\[ \log_4 x=\frac{1}{2}s \]が成り立ちます。

解答

ウ:5

解答編 つづき

問題

 ①の両辺の $2$ を底とする対数をとると、③により\[ s(t+[エ])=[オ] \quad \cdots ④ \]が成り立つ。

解説

\[ (2y)^{\log_4 x} =16 \quad \cdots ① \]の両辺の $2$ を底とする対数をとると
\begin{eqnarray} \log_2 (2y)^{\log_4 x} &=& \log_2 16 \\ (\log_4 x)(\log_2 2 + \log_2 y) &=& 4 \\ \end{eqnarray}となります。ここで、③の結果\[ \log_4 x=\frac{1}{2}s \]も使えば、この式は次のように変形できます。 \begin{eqnarray} \frac{s}{2}(1 + t) &=& 4 \\[5pt] s(t+1) &=& 8 \\[5pt] \end{eqnarray}

解答

エオ:18

解答編 つづき

問題

②, ④により、 $\log_2 A$ を s を用いて表すと\[ \log_2 A = s +\frac{[カ]}{s} -\frac{[キ]}{[ク]} \]となる。

解説

②より\[ \log_2 A=s+\frac{t}{2} \]が成り立ちます。この t を消すために、④の\[ s(t+1) = 8 \]を変形すれば
\begin{eqnarray} t+1 &=& \frac{8}{s} \\[5pt] t &=& \frac{8}{s}-1 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。これを②へ代入して \begin{eqnarray} \log_2 A &=& s+\frac{t}{2} \\[5pt] &=& s+\frac{1}{2} \left(\frac{8}{s}-1\right) \\[5pt] &=& s+\frac{4}{s}-\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

カキク:412

解答編 つづき

問題

 $s\gt [ア]$ であることに注意すると、 $\log_2 A$ は $s=[ケ]$ のとき最小値をとることがわかる。

 したがって、 A は $x=[コ]$, $y=[サ]$ のとき、最小値 $[シ]\sqrt{[ス]}$ をとる。

解説

先ほど求めた通り\[ \log_2 A = s+\frac{4}{s}-\frac{1}{2} \]が成り立ちます。

$s\gt 0$ なので、相加相乗平均の関係から\[ s+\frac{4}{s}\geqq 2\sqrt{s\times \frac{4}{s} }=4 \]となることがわかります。等号が成り立つのは、 $\displaystyle s=\frac{4}{s}$ のときなので、 $\log_2 A$ が最小となるのは、 $s=2$ のときとわかります。

$s=2$ のとき、 $s=\log_2 x$ から $x=4$ が得られます。また、④より $s(t+1) = 8$ なので、
\begin{eqnarray} 2(t+1) &=& 8 \\ t+1 &=& 4 \\ t &=& 3 \\ \end{eqnarray}となり、 $t=\log_2 y$ から $y=2^3=8$ が得られます。

また、
\begin{eqnarray} \log_2 A &=& s+\frac{4}{s}-\frac{1}{2} \\[5pt] &=& 2+\frac{4}{2}-\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{7}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、\[ A = 2^{7/2}=8\sqrt{2} \]が最小値であることがわかります。

解答

コ:4
サ:8
シス:82

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