センター試験数学II・数学B 2014年度追試第3問解説

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【選択問題】(第3問～第6問から2問選択)

問題編

問題

　$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$数列 $\{ a_n \}$ を\[ a_1=4,\ a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)a_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ① \]で定める。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず、 $a_2=\myBox{ア}$, $a_3=\myBox{イウ}$, $a_4=\myBox{エオ}$ であることにより、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{カ} \quad \cdots ② \]と推測できる。 $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $n+3$
　1: $4n$
　2: $2^{n+1}$
　3: $12-\frac{8}{n}$

　②の推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明しよう。
[I] $n=1$ のとき、 $a_1=4$ により②が成り立つ。
[II] $n=k$ のとき、②が成り立つと仮定すると、①により\[ a_{k+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{k}\right)a_k +3k+3 = \myBox{キ} \]である。よって、 $n=\myBox{ク}$ のときも②が成り立つ。
[I], [II]により、②はすべての自然数 n について成り立つ。

　$\myBox{キ}$, $\myBox{ク}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

　0: $k+1$
　1: $k+4$
　2: $4k+1$
　3: $4k+4$
　4: $2^{k+1}$
　5: $2^{k+2}$
　6: $12-\frac{8}{k}$
　7: $12-\frac{8}{k+1}$

　数列 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とすると\[ S_n = \myBox{ケ}n^2 +\myBox{コ}n \quad \cdots ③ \]である。

　次に $\{ a_n \}$ と同じ漸化式を満たし、初項が異なる数列 $\{b_n\}$ を\[ b_1=7, \ b_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)b_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ④ \]で定める。 $\{ b_n \}$ の一般項を求めよう。①と④により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} -a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)(b_n-a_n) \]である。
　\[ c_n = \frac{b_n-a_n}{n} \ (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ⑤ \]とおくと、数列 $\{c_n\}$ は、初項 $\myBox{サ}$, 公比 $\displaystyle \frac{\myBox{シ} }{\myBox{ス} }$ の等比数列であるから、一般項は、 $c_n = \frac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ}^{\bbox[1px, border:2px solid]{\ \bf{ タ }\ } }}$ となる。ただし、 $\myBox{タ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　0: $n$
　1: $n-1$
　2: $n+1$
　3: $n-2$
　4: $n+2$

したがって、②と⑤により\[ b_n = \mybox{カ}+\frac{\mybox{セ}n}{\mybox{ソ}^{\bbox[1px, border:1px solid]{\ \bf{ タ }\ } }} \]が成り立つ。

　数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。⑤により $b_n = a_n +nc_n$ であるから、 $\displaystyle T_n = S_n+\sum_{k=1}^n kc_k$ である。 $\displaystyle U_n = \sum_{k=1}^n kc_k$ とおくと\[ U_n -\frac{\mybox{シ} }{\mybox{ス} }U_n = \sum_{k=1}^n \frac{\myBox{チ} }{\mybox{ソ}^{k-1} } -\frac{\myBox{ツ}n}{\mybox{ソ}^n} \]となり\[ U_n = \frac{\myBox{テト} }{\myBox{ナ} }-\frac{\myBox{ニ}n+\myBox{ヌ} }{\mybox{ナ}\cdot \myBox{ネ}^{n-1} } \quad \cdots ⑥ \]が成り立つ。$T_n = S_n+U_n$ と③と⑥により、 $T_n$ を得ることができる。

考え方

数学的帰納法がセンター試験で出題されるのは珍しいですが、推測しやすい数列なので難易度は高くないでしょう。キは、式を変形するよりも、何を示さないといけないかを考えたほうが解きやすいです。

最後は、等差×等比の和です。ここはしっかり計算しないといけませんが、よく出題される内容なので、よく練習しておけば難しくはないでしょう。簡単なわけではありませんが、どれも典型的な問題パターンです。

【選択問題】(第3問～第6問から2問選択)

解答編

問題

　$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$数列 $\{ a_n \}$ を\[ a_1=4,\ a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)a_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ① \]で定める。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず、 $a_2=\myBox{ア}$, $a_3=\myBox{イウ}$, $a_4=\myBox{エオ}$ であることにより、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{カ} \quad \cdots ② \]と推測できる。 $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $n+3$
　1: $4n$
　2: $2^{n+1}$
　3: $12-\frac{8}{n}$

解説

漸化式に代入していきます。まず $n=1$ とすると
\begin{eqnarray} a_2 &=& \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{1}\right)a_1 +3\cdot 1+3 \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \times 2\times 4 +6 \\[5pt] &=& 8 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

次に $n=2$ とすると
\begin{eqnarray} a_3 &=& \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{2}\right)a_2 +3\cdot 2+3 \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \times \frac{3}{2}\times 8 +9 \\[5pt] &=& 12 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

続いて $n=3$ とすると
\begin{eqnarray} a_4 &=& \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{3}\right)a_3 +3\cdot 3+3 \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}\times 12 +12 \\[5pt] &=& 16 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

このことから、 $a_n=4n$ と推測できます。なお、 $a_3=12$ を満たす選択肢は1だけです。

解答

ア：8
イウ：12
エオ：16
カ：1

解答編つづき

問題

　②の推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明しよう。
[I] $n=1$ のとき、 $a_1=4$ により②が成り立つ。
[II] $n=k$ のとき、②が成り立つと仮定すると、①により\[ a_{k+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{k}\right)a_k +3k+3 = \myBox{キ} \]である。よって、 $n=\myBox{ク}$ のときも②が成り立つ。
[I], [II]により、②はすべての自然数 n について成り立つ。

　$\myBox{キ}$, $\myBox{ク}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

　0: $k+1$
　1: $k+4$
　2: $4k+1$
　3: $4k+4$
　4: $2^{k+1}$
　5: $2^{k+2}$
　6: $12-\frac{8}{k}$
　7: $12-\frac{8}{k+1}$

解説

[II]では、 $a_k=4k$ を用いて、 $a_{k+1}=4(k+1)$ を示すことになります。この左辺から右辺を引いたものを計算すると
\begin{eqnarray} & & a_{k+1}-4(k+1) \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{k}\right)a_k +3k+3 -4(k+1) \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{k}\right)\times 4k +3k+3 -4k-4 \\[5pt] &=& k+1 -k-1 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となることから、 $n=k+1$ のときも②が成り立つことがわかります。

$a_{k+1}$ を変形していくやり方だと、結果を導くのは難しいです。

解答

キク：30

解答編つづき

問題

　数列 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とすると\[ S_n = \myBox{ケ}n^2 +\myBox{コ}n \quad \cdots ③ \]である。

解説

和の公式を使って
\begin{eqnarray} S_n &=& \sum_{k=1}^n 4k \\[5pt] &=& 4\times \frac{1}{2}n(n+1) \\[5pt] &=& 2n(n+1) \\[5pt] &=& 2n^2+2n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ケコ：22

解答編つづき

問題

　次に $\{ a_n \}$ と同じ漸化式を満たし、初項が異なる数列 $\{b_n\}$ を\[ b_1=7, \ b_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)b_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ④ \]で定める。 $\{ b_n \}$ の一般項を求めよう。①と④により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} -a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)(b_n-a_n) \]である。
　\[ c_n = \frac{b_n-a_n}{n} \ (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ⑤ \]とおくと、数列 $\{c_n\}$ は、初項 $\myBox{サ}$, 公比 $\displaystyle \frac{\myBox{シ} }{\myBox{ス} }$ の等比数列であるから、一般項は、 $c_n = \frac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ}^{\bbox[1px, border:2px solid]{\ \bf{ タ }\ } }}$ となる。ただし、 $\myBox{タ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　0: $n$
　1: $n-1$
　2: $n+1$
　3: $n-2$
　4: $n+2$

したがって、②と⑤により\[ b_n = \mybox{カ}+\frac{\mybox{セ}n}{\mybox{ソ}^{\bbox[1px, border:1px solid]{\ \bf{ タ }\ } }} \]が成り立つ。

解説

まず、数列 $\{c_n\}$ の初項は
\begin{eqnarray} c_1 &=& \frac{b_1-a_1}{1} \\[5pt] &=& 7-4 \\[5pt] &=& 3 \end{eqnarray}となります。

また、④から①を辺々引いて\[ b_{n+1} -a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)(b_n-a_n) \]となることを用いると、数列 $\{c_n\}$ の第 $n+1$ 項を第 $n$ 項で割ったものは
\begin{eqnarray} & & c_{n+1} \div c_n \\[5pt] &=& \frac{b_{n+1}-a_{n+1} }{n+1} \div \frac{b_n-a_n}{n} \\[5pt] &=& \frac{1}{n+1}\times \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)(b_n-a_n) \div \frac{b_n-a_n}{n} \\[5pt] &=& \frac{1}{n+1}\times \frac{1}{4} \times \frac{n+1}{n} \div \frac{1}{n} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。このことから、数列 $\{c_n\}$ は公比が $\displaystyle \frac{1}{4}$ の等比数列になることがわかります。

初項が $3$ で公比が $\displaystyle \frac{1}{4}$ の等比数列なので、一般項は\[ c_n= \frac{3}{4^{n-1} } \]となります。

解答

サシス：314
セソタ：341

解答編つづき

問題

　数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。⑤により $b_n = a_n +nc_n$ であるから、 $\displaystyle T_n = S_n+\sum_{k=1}^n kc_k$ である。 $\displaystyle U_n = \sum_{k=1}^n kc_k$ とおくと\[ U_n -\frac{\mybox{シ} }{\mybox{ス} }U_n = \sum_{k=1}^n \frac{\myBox{チ} }{\mybox{ソ}^{k-1} } -\frac{\myBox{ツ}n}{\mybox{ソ}^n} \]となり\[ U_n = \frac{\myBox{テト} }{\myBox{ナ} }-\frac{\myBox{ニ}n+\myBox{ヌ} }{\mybox{ナ}\cdot \myBox{ネ}^{n-1} } \quad \cdots ⑥ \]が成り立つ。$T_n = S_n+U_n$ と③と⑥により、 $T_n$ を得ることができる。

解説

$\displaystyle U_n = \sum_{k=1}^n k c_k = \frac{3k}{4^{k-1} }$ なので
\begin{eqnarray} & & U_n -\frac{1}{4}U_n \\[5pt] &=& \frac{3\cdot 1}{4^{1-1} } + \frac{3\cdot 2}{4^{2-1} } +\cdots +\frac{3\cdot n}{4^{n-1} } \\[5pt] & & -\frac{3\cdot 1}{4\cdot 4^{1-1} } -\frac{3\cdot 2}{4\cdot 4^{2-1} } -\cdots -\frac{3\cdot n}{4\cdot 4^{n-1} } \\[5pt] &=& \frac{3\cdot 1}{4^{1-1} } \\[5pt] & & +\frac{3\cdot 2}{4^{2-1} } -\frac{3\cdot 1}{4\cdot 4^{1-1} } \\[5pt] & & +\frac{3\cdot 3}{4^{3-1} } -\frac{3\cdot 2}{4\cdot 4^{2-1} } \\[5pt] & & +\cdots \\[5pt] & & +\frac{3\cdot n}{4^{n-1} } -\frac{3\cdot (n-1)}{4\cdot 4^{(n-1)-1} } \\[5pt] & & -\frac{3\cdot n}{4\cdot 4^{n-1} } \\[5pt] &=& \frac{3}{4^0} \\[5pt] & & +\frac{3}{4^1} \\[5pt] & & +\frac{3}{4^2} \\[5pt] & & +\cdots \\[5pt] & & +\frac{3}{4^{n-1} } \\[5pt] & & -\frac{3n}{4^n} \\[5pt] &=& \sum_{k=1}^n \frac{3}{4^{k-1} } -\frac{3n}{4^n} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。

また、等比数列の和の公式も使ってこの式を変形していくと
\begin{eqnarray} & & U_n -\frac{1}{4}U_n \\[5pt] &=& \frac{3\left(1-\frac{1}{4^n}\right)}{1-\frac{1}{4} } -\frac{3n}{4^n} \\[5pt] &=& 3\left(1-\frac{1}{4^n}\right) \times \frac{4}{3} -\frac{3n}{4^n} \\[5pt] &=& 4\left(1-\frac{1}{4^n}\right) -\frac{3n}{4^n} \\[5pt] &=& 4+\frac{-4-3n}{4^n} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。左辺は $\displaystyle \frac{3}{4}U_n$ なので、係数で割ると \begin{eqnarray} U_n &=& \frac{4}{3} \times \left(4+\frac{-4-3n}{4^n}\right) \\[5pt] &=& \frac{16}{3} +\frac{4}{3} \times \frac{-4-3n}{4^n} \\[5pt] &=& \frac{16}{3} -\frac{3n+4}{3\cdot 4^{n-1} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。