なかけんの数学ノート

【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフ(具体例)

ここでは、今まで見てきた二次関数のグラフの内容を活かして、二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフをどう描けばいいのかを見ていきます。

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考え方

今まで、次のような二次関数のグラフを見てきました。

これらを踏まえて、二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを考えてみましょう。

$y=ax^2+bx+c$ のグラフは、 $ax^2$ と $+c$ の部分だけなら簡単です。 $y=ax^2$ のグラフを上に c だけ動かせば完成です。問題は $+bx$ です。これをどうにかしないといけません。

そこで、【基本】二次関数y=a(x-p)^2+qのグラフで出た例をもう一度ここで見てみます。リンク先の記事では $y=2x^2$ のグラフを、x軸方向に $2$ 、y軸方向に $1$ だけ動かしたグラフを考えていました。これは、 $y=2(x-2)^2+1$ のグラフになるんでしたね。これを展開すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
y
&=&
2(x-2)^2+1 \\
&=&
2(x^2-4x+4)+1 \\
&=&
2x^2-8x+9 \\
\end{eqnarray}つまり、 $y=2x^2-8x+9$ のグラフになるということです。これは $y=ax^2+bx+c$ の形になっていますね。このことから何がわかるかというと、この計算を逆に行えば $y=ax^2+bx+c$ は $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形できる、ということです。こうなれば頂点の座標がわかるので、グラフも描くことができます。

具体的な例で計算してみましょう。

例題
次の関数のグラフを描きなさい。
$y=-2x^2-4x+3$

このグラフを描くには、頂点の座標を知る必要があるので、 $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形します。このように変形することを平方完成する(complete the square)、といいます。上で行った式変形を逆にたどりつつ考えていきます。

まずは、 $x^2$ の係数でくくります。先ほども書いた通り $+bx$ の部分(今の場合は $-4x$ )が邪魔で、これを消すことが目標なので、定数項はくくりません。
\begin{eqnarray}
y
&=&
-2x^2-4x+3 \\
&=&
-2(x^2+2x)+3
\end{eqnarray}

次に $(x-p)^2$ の部分を作ることを考えましょう。これを展開すると $x^2-2px+p^2$ となります。 x の部分が等しくなるように変形するには $p=-1$ とすればいいですね。これを踏まえて次のように変形します。
\begin{eqnarray}
y
&=&
-2(x^2+2x)+3 \\
&=&
-2\{(x^2+2x+1)-1\}+3 \\
&=&
-2\{(x+1)^2-1\}+3 \\
\end{eqnarray}2行目は $(x+1)^2$ を作り出すための変形をしています。この結果、見かけ上、 $bx$ の部分が消えました。これをさらに計算していくと、次のようになります。
\begin{eqnarray}
y
&=&
-2\{(x+1)^2-1\}+3 \\
&=&
-2(x+1)^2 +2+3 \\
&=&
-2(x+1)^2 +5 \\
\end{eqnarray}これで完成です。この変形によって、このグラフは頂点の座標が $(-1,5)$ で $y=-2x^2$ を平行移動したものであることがわかります。グラフは次のようになります。

standard-graph-of-quadratic-function-example-01

グラフを描くためには頂点を知る必要があり、そのためには上のような式変形(=平方完成)を行わないといけない、ということです。なかなかむずかしいですね。

おわりに

ここでは、二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフの描き方を見てきました。グラフを描くためには、頂点を求めるための式変形が必要でした。次はこの式変形だけを抜き出して、もう一度見ていくことにします。【標準】平方完成のやり方に進みましょう。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 標準
キーワード: 二次関数, 放物線
更新日:2016/11/23