【応用】二項定理とパスカルの三角形

ここでは、二項定理を知った上で、パスカルの三角形をもう一度見直してみます。

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二項定理とパスカルの三角形

パスカルの三角形とは、次のように、 n 乗の係数を並べたものでしたね。
\begin{array}{ccccccccccc}
&&&& 1 && 1 &&&&\\[5pt] &&& 1 && 2 && 1 &&&\\[5pt] && 1 && 3 && 3 && 1 &&\\[5pt] & 1 && 4 && 6 && 4 && 1 &\\[5pt] 1 && 5 && 10 && 10 && 5 && 1\\[5pt] \end{array}【基本】n乗の展開とパスカルの三角形で見た内容です。各数字は、左上の数字と右上の数字を足したものになっています。このように書いていけば、何乗であっても係数が求められます。

一方、二項定理も、 n 乗の係数に関する定理でした。こちらは、直接求められます。【基本】n乗の展開と二項定理でも見たように、 $(x+y)^n$ を展開したとき、 $x^ky^{n-k}$ の係数は、 ${}_n \mathrm{ C }_k$ になります。

このことから、パスカルの三角形は、次のように書くこともできる、ということがわかります。
\begin{array}{c}
{}_1 \mathrm{ C }_1 \ \ {}_1 \mathrm{ C }_0 \\[5pt] {}_2 \mathrm{ C }_2 \ \ {}_2 \mathrm{ C }_1 \ \ {}_2 \mathrm{ C }_0 \\[5pt] {}_3 \mathrm{ C }_3 \ \ {}_3 \mathrm{ C }_2 \ \ {}_3 \mathrm{ C }_1 \ \ {}_3 \mathrm{ C }_0 \\[5pt] {}_4 \mathrm{ C }_4 \ \ {}_4 \mathrm{ C }_3 \ \ {}_4 \mathrm{ C }_2 \ \ {}_4 \mathrm{ C }_1 \ \ {}_4 \mathrm{ C }_0 &\\[5pt] {}_5 \mathrm{ C }_5 \ \ {}_5 \mathrm{ C }_4 \ \ {}_5 \mathrm{ C }_3 \ \ {}_5 \mathrm{ C }_2 \ \ {}_5 \mathrm{ C }_1 \ \ {}_5 \mathrm{ C }_0 \\[5pt] \end{array}展開したときの係数は左右対称なので、上の三角形は左右入れ替えても同じです。左右を入れ替えると左端が0になるので、そちらの方が見やすいという人もいると思います。

各数字が左上と右上の和であることについて

パスカルの三角形では、各数字は左上と右上の和になっているんでしたね。これを、 ${}_n \mathrm{ C }_k$ を使った式で書いてみましょう。

上に書いたパスカルの三角形の左右を入れ替えたものを考えると、 n 段目の左から $k+1$ 番目は、 ${}_n \mathrm{ C }_k$ となります(1つズレていることに注意しましょう)。

また、その左上と右上は、 $n-1$ 段目の、左から $k$ 番目と $k+1$ 番目なので、それぞれ、 ${}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}$, ${}_{n-1} \mathrm{ C }_k$ となります。

よって、次の式が成り立ちます。\[ {}_n \mathrm{ C }_k = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_k \]

$(x+y)^n$ の展開の観点で考えると、左辺は $x^k y^{n-k}$ の係数です。また、\[ (x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1} \]と考えると、右辺を展開したときに $x^k y^{n-k}$ が出てくるのは、 $x \times x^{k-1} y^{n-k}$ となるか、 $y \times x^k y^{n-k-1}$ となるときだけで、その係数はそれぞれ ${}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}$, ${}_{n-1} \mathrm{ C }_k$ となります。このことからも、上の等式が成り立つことがわかります。

なお、二項定理の一部分を抜き出して説明しましたが、上の等式は、二項定理を使わずに説明することもできます。詳細は、【標準】特定の1つに注目した組合せを見てみましょう。

おわりに

ここでは、二項定理を使って、パスカルの三角形をもう一度見てみました。各数字が、左上の数字と右上の数字の和になっていることを、 ${}_n \mathrm{ C }_k$ を使った式で表現してみました。この式は、二項定理と関連して考えることもできるし、組合せとして考えることもできます。いろんな見方ができるようになると、考え方の幅が広がりますね。