なかけんの数学ノート

【基本】一次不等式の解と数直線

ここでは、一次不等式の解を数直線を用いて表現する方法を見ていきます。不等式と数直線については、【基本】不等式の性質と数直線で登場しているので、そちらも参照してみましょう。

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解の範囲を数直線を用いて表す

数直線とは、直線上の点と実数とを対応させたものでしたね。一方、一次不等式の解は $x\gt 0$ などといった「範囲」であり、一つの値ではありません。そのため、ちょっとした工夫が必要です。

数直線で「範囲」を示す場合は、次のように描きます。

basic-linear-inequality-solution-and-number-line-01

上側の数直線が、$x\gt 3$ 、つまり、3より大きい範囲を示しています。ポイントは、3のところが白丸になっているところと、3から斜めに線が出ているところです。これにより、「境目にある”3″は含まない」という意味になります。なお、実際の試験などでは、灰色で塗っている部分は斜線で表現します。

下側の数直線は、$x\lt 3$ を表しています。線の向きが違いますが、白丸と線が斜めに出ている点は共通していますね。

解の範囲を数直線を用いて表す2

$x\gt 3$, $x\lt 3$ のときの描き方を見ましたが、$x\geqq 3$ のように、イコールが入った範囲をかきたい場合もあります。そのときは、次のようにします。

basic-linear-inequality-solution-and-number-line-02

図の上側が $x\geqq 3$ を表していて、下側が $x\leqq 3$ を表しています。ポイントは、3のところが黒丸になっているところと、3からまっすぐ上に線が出ているところです。これにより、「境目の3も含む」という意味になります。

複数の範囲を数直線を用いて表す

数直線を用いて範囲を表す方法を見てきましたが、複数の範囲を示すこともできます。重ねて描くだけです。例えば、$x\gt 0$ と $x\leqq 3$ の両方に含まれる範囲を図示してみましょう。

basic-linear-inequality-solution-and-number-line-03

0から右上に出ている線が、$x\gt 0$ を表しています。また、3から上に出て左に伸びている線が、$x\leqq 3$ を表しています。この2つの領域は重なる部分があって、それが灰色の部分であることがわかりますね。式で書くと、$0 \lt x \leqq 3$ となります。

おわりに

数直線を用いて範囲を表す方法を見てきました。範囲の端を含まない場合は、白丸にして斜めに線を伸ばす、端を含む場合は、黒丸にして上に線を伸ばす、というのがポイントでしたね。

範囲が一つだけならあまりありがたみが感じられませんが、複数の範囲を考えるようになると、数直線で考えたほうがわかりやすくなります。複数の範囲が出てきて複雑だなぁと感じた場合は、数直線を用いて考えるようにしましょう。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 一次不等式
レベル: 基本
キーワード: 不等式, 一次不等式
更新日:2016/11/18