なかけんの数学ノート

【基本】二次関数y=a(x-p)^2のグラフ

【基本】二次関数y=ax^2+qのグラフでは、二次関数 $y=ax^2$ のグラフを y 軸方向に移動した場合を考えました。ここでは、x 軸方向に移動した場合を考えていきます。

二次関数y=a(x-p)^2のグラフ

例として、 $y=x^2$ のグラフを x 軸方向に $1$ だけ移動したものを考えてみます。グラフは次のようになります。

basic-graph-of-quadratic-function-x-01

グレーが移動前、黒くて太い曲線が移動後のグラフです。各点の移動に注目して、グラフを見ながら点の座標をいくつか書いてみます。下の表の y は、新しいグラフでの y 座標を表しています。

\begin{array}{c | rrrrrrr }
x & \cdots & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ \hline
x^2 & \cdots & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & \cdots \\ \hline
y & \cdots & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & \cdots
\end{array}

移動前の点の y 座標(上の表の2段目)を1つ右にずらしたものが、新しいグラフ上の点の y 座標となります。逆に言うと、新しいグラフ上の点を1つ左にずらせば、移動前のグラフに戻るということです。

新しいグラフ上の点を $(x,y)$ とすると、この1つ左の点は $(x-1,y)$ です。この点は移動前のグラフ上の点なので、x座標を2乗するとy座標と等しくなります。つまり、 $y=(x-1)^2$ が成り立ちます。これが、移動後のグラフに対応する関数となります。

実際、上の表で $y=(x-1)^2$ が成り立っているので、確認してみましょう。

逆に、関数 $y=(x-1)^2$ からグラフを考えてみましょう。

このグラフ上の点 $(x,(x-1)^2)$ は、点 $(x-1,(x-1)^2)$ を x 軸方向に $1$ だけ移動したものです。点 $(x-1,(x-1)^2)$ は、x座標を2乗するとy座標となるので、 $y=x^2$ のグラフ上の点です。この点の移動が、すべての x について成り立つので、「 $y=(x-1)^2$ のグラフは、 $y=x^2$ のグラフを x軸方向に $1$ だけ平行移動したもの」ということができます。

x軸方向に $1$ 移動すると言っておいて、 $x+1$ ではなく $x-1$ が出てくるところがやっかいですね。「新グラフから反対に移動すると、元の関数のグラフになる」ことから、マイナスが出てくる、と考えましょう。

なお、この放物線の頂点の座標は $(1,0)$ で、軸は $x=1$ となります。頂点も軸も、x軸方向に $1$ ずれるんですね。

一般的に、次が成り立ちます。

$y=a(x-p)^2$ のグラフは、 $y=ax^2$ のグラフを x軸方向に pだけ移動したものである

この放物線の頂点の座標は $(p,0)$ で、軸は $x=p$ となります。

もう一つの例

もう一つ例を見てみましょう。

$y=-2(x+1)^2$ のグラフを考えます。

このグラフ上の点は、「x軸方向に $1$ 動かせば $y=-2x^2$ のグラフ上に来る」ということなので、「 $y=-2x^2$ のグラフをx軸方向に $-1$ 動かせば、考えたいグラフになる」ということです。そのため、グラフは次のようになります。

basic-graph-of-quadratic-function-x-02

グレーの放物線は、移動前のものなので、描く必要はありません。y軸との交点の座標は、 $x=0$ とすれば求められますね。グラフを描くときには一緒に書いておきましょう。なお、この放物線の軸は $x=-1$ 、頂点の座標は $(-1, 0)$ となります。

どっちに動かせばいいかわからない場合

$y=a(x-p)^2$ のグラフは、 $y=ax^2$ のグラフを x軸方向に pだけ移動したものですが、どっちに動かせばいいか忘れてしまったとか、なかなか理解できない、という場合があるかもしれません。

そういうときは、カッコの中が0になる場合を考えましょう。

カッコの中が0になるところが頂点になります。 $y=a(x-p)^2$ という式なら、 $x=p$ のときにカッコの中が0になります。そこが頂点に対応しています。あとはこの頂点をもとに、放物線を描けばいいんですね。

まとめ

ここでは、二次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフについて見てきました。このグラフの描き方は、次のようになります。

  • 頂点 $(p, 0)$ を把握し、座標を書く
  • 頂点をもとに、放物線を描く
  • x軸との交点の座標を書く

頂点の座標、x軸との交点の座標を書けば、放物線を特定することができます。なので、これだけ書けば十分です。

上下と左右、同時に平行移動した場合を見ていきます。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 基本
キーワード: 二次関数, 放物線
更新日:2016/07/12