東京大学 理系 2014年度 第3問 解説

問題編

問題

 u を実数とする。座標平面上の2つの放物線
\begin{eqnarray}
C_1 &:& y=-x^2+1 \\
C_2 &:& y=(x-u)^2+u
\end{eqnarray}を考える。 $C_1$ と $C_2$ が共有点をもつような u の値の範囲は、ある実数 a, b により、 $a\leqq u \leqq b$ と表される。

(1) a,b の値を求めよ。
(2) u が $a\leqq u \leqq b$ をみたすとき、 $C_1$ と $C_2$ の共有点を $\mathrm{ P }_1 (x_1,y_1)$, $\mathrm{ P }_2 (x_2, y_2)$ とする。ただし、共有点が1点のみのときは、 $\mathrm{ P }_1$ と $\mathrm{ P }_2$ は一致し、ともにその共有点を表すとする。\[ 2|x_1y_2-x_2y_1| \]を u の式で表せ。
(3) (2)で得られる u の式を $f(u)$ とする。定積分\[ I=\int_a^b f(u)du \]を求めよ。

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考え方

(1)では、「グラフが共有点を持つ」条件を、方程式の解の条件で言い換えて考えます。(2)は、 yx で置き換えてから、解と係数の関係を用いて u で表します。

(3)は置換積分です。ルートの部分があるとうまく計算できないので、ここが消えるように変数を置き換えます。一般的にはノーヒントで解くのは難しい問題ですが、東大の入試問題としては標準的な計算問題です。