なかけんの数学ノート

京都大学 理学部特色入試 2017年度 第1問 解説

問題編

問題

 r を $\displaystyle 0\lt r \leqq \frac{1}{2}$ を満たす有理数とする。 xy 平面上の点列 $\mathrm{ P }_1,$ $\mathrm{ P }_2,$ $\mathrm{ P }_3, \cdots $ を
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ OP }_1 } &=& (1,0) \\
\overrightarrow{ \mathrm{ OP }_2 } &=& (0,1) \\
\overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n+2} } &=& \{ 2\cos(\pi r) \}\overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n+1} } -\overrightarrow{ \mathrm{ OP }_n } \quad (n=1,2,3,\cdots)\\
\end{eqnarray}で定める。以下の条件 (A) を満たすような r をすべて求めよ。

 (A) すべての自然数 n について、 $\left| \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_n } \right| \geqq 1$ が成立する。

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考え方

3項漸化式だと考えれば、一般項を求めることができます。また、特性方程式もきれいな形で解けます。

ただ、そこから条件(A)を使いやすい形にもっていくのが大変です。三角関数で出てくる式を駆使して変形していきます。

$r=\frac{1}{3}$ や $r=\frac{1}{4}$ で実験をしても成り立ってしまうし、満たさない例を見つけるのが大変です。答えの予想がしづらく、ゴールまでたどり着くのは難しいです。

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試験名: 大学入試, 京大特色, 京都大学
年度: 2017年度
分野: 三角関数, 数列, ベクトル, 複素数平面
トピック: 三角関数, 数列, 平面ベクトル, 複素数平面
レベル: むずかしい
キーワード: 有理数, 複素数, ベクトル, 漸化式, 数列
更新日:2016/12/03