京都大学 理系 2012年度 第1問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。
(1) a が正の実数のとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。
(2) 定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log\sqrt{1+x^2} dx$ の値を求めよ。

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考え方

(1)は、 $1$ と $a^n$ を比較して、どちらの影響が大きくなるかを考えるといいでしょう。そうすると、どこで場合分けをしないといけないかが見えてきます。影響が小さくなる方を、はさみうちの定理などを使って示すといいでしょう。

(2)は、(1)とは関係のない問題です。 $\log$ や $1+x^2$ の形から、どんな積分の計算を使っていたか、思い出しながら解いていきましょう。