京都大学 文系 2016年度 第4問 解説

問題編

【問題】
四面体$\mathrm{ OABC }$が次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。
 条件:頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。

ただし、四面体にある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。

【考え方】
重心や垂直を表現するにはベクトルが使いやすいので、ベクトルを使って条件を書いていきます。すべての長さが等しくなることを目指して変形していきます。

(2016/2/28 追記:当初「重心」のところを「外心」と読み間違っていましたので、訂正しました。)