なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある自動車の4月21日から4月30日までの毎日の走行距離とガソリンの消費量を調べたところ、次のデータが得られた。ただし、表の数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。

日付 走行距離
(km)
消費量
(リットル)
4月21日 18.0 1.2
4月22日 17.0 1.1
4月23日 17.5 1.4
4月24日 20.0 1.3
4月25日 19.5 1.2
4月26日 19.0 1.5
4月27日 18.0 1.0
4月28日 19.5 1.3
4月29日 20.5 1.7
4月30日 21.0 1.3
平均値 $\mathsf{A}$ 1.30
分散 1.60 $\mathsf{B}$

 以下、小数の形で解答する場合、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せよ。途中で割り切れた場合、指定された桁まで 0 にマークすること。

(1) この自動車の4月21日から4月30日までの走行距離の平均値 $\mathsf{A}$ は $\myBox{アイ}.\myBox{ウエ}$ km である。また、ガソリンの消費量の分散 $\mathsf{B}$ の値は $\myBox{オ}.\myBox{カキク}$ であり、中央値は $\myBox{ケ}.\myBox{コサ}$ リットルである。

(2) 走行距離とガソリンの消費量の相関図(散布図)として適切なものは $\myBox{シ}$ であり、相関係数の値は $\myBox{ス}.\myBox{セソタ}$ である。ただし、 $\myBox{シ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

center-2b-2014-re-5-00

center-2b-2014-re-5-01

center-2b-2014-re-5-02

center-2b-2014-re-5-03

(3) さらに、同じ自動車について、5月1日から5月6日までの毎日の走行距離とガソリンの消費量を調べたところ、次のデータが得られた。ただし、表の数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。

日付 走行距離
(km)
消費量
(リットル)
5月1日 20.5 1.6
5月2日 25.5 1.8
5月3日 22.0 1.3
5月4日 22.5 1.8
5月5日 20.5 1.6
5月6日 27.0 2.1
平均値 23.00 1.70
分散 6.00 0.060

 5月1日から5月6日までの6日間の走行距離とガソリンの消費量の相関係数の値は0.750である。また、4月21日から5月6日までの16日間の走行距離とガソリンの消費量の相関係数の値を r とする。16日間の相関図を考えることにより、 $\myBox{チ}$ である。 $\myBox{チ}$ にあてはまるものを、次の 0 から 6 のうちから一つ選べ。

 0: $r\lt -1$
 1: $r=-1$
 2: $-1 \lt r \lt 0$
 3: $r=0$
 4: $0 \lt r \lt 1$
 5: $r=1$
 6: $r\gt 1$

 次に、この自動車の4月21日から5月6日までの16日間の走行距離の平均値と分散の値について考えよう。16日間の平均値を M とするとき、 M は $\myBox{ツテ}.\myBox{トナ}$ kmである。
 4月21日から4月30日までの走行距離を順に $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ とおき、これらの平均値を m、分散の値を $s^2$ とする。また\[ T=(x_1-M)^2+(x_2-M)^2+\cdots+(x_{10}-M)^2 \]を考える。 k を 1 から 10 までの自然数として $(x_k-M)^2$ は
\begin{eqnarray}
(x_k-M)^2
&=&
\{ (x_k-m)+(m-M) \}^2 \\
&=&
(x_k-m)^2+2(x_k-m)(m-M)+(m-M)^2 \\
\end{eqnarray}と変形できるから\[ T=\myBox{ニ} \]と表すことができる。 $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $10s^2 +10(m-M)^2$
 1: $20s^2 +10(m-M)^2$
 2: $10s^2 +20(m-M)^2$
 3: $20s^2 +20(m-M)^2$

したがって、 $T=\myBox{ヌネ}.\myBox{ノハ}$ である。さらに、5月1日から5月6日までの走行距離についても、同様の計算を行うことにより、16日間の走行距離の分散の値は $\myBox{ヒ}.\myBox{フヘ}$ であることが導かれる。

考え方

(1)は定義に基づいて計算するだけです。(2)の散布図は、違う点を探して比較しましょう。相関係数は少し計算が面倒ですが、地道に求めるしかありません。(3)は散布図がどういう形になるかを考えて答えましょう。計算は必要ありません。

ここまでは基本的で簡単な問題が続きますが、最後の16日間の分散の箇所だけ少し難易度が上がります。 T の式を変形する部分は、ヒントにある変形式の各項の和がどうなるかを考えましょう。また、 $s^2$ が分散なので、代入するときに間違って2乗をしないようにしましょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: データの分析
トピック: データの分析
レベル: ふつう
キーワード: 平均, 相関係数, 分散, 共分散, 散布図
更新日:2017/02/08