センター試験 数学I・数学A 2014年度 第2問 解説

問題編

問題

 a を定数とし、 x の2次関数\[ y=x^2+2ax+3a^2-6a-36 \quad\cdots ① \]のグラフを G とする。 G の頂点の座標は\[ ([ア]a,[イ]a^2-[ウ]a-[エオ]) \]である。 Gy 軸との交点の y 座標を p とする。

(1) $p=-27$ のとき、 a の値は $a=[カ],[キク]$ である。 $a=[カ]$ のときの①のグラフを x 軸方向に [ケ]、 y 軸方向に[コ]だけ平行移動すると、 $a=[キク]$ のときの①のグラフに一致する。

(2) 下の[ス]、[セ]、[ノ]、[ハ]には、次の 0 ~ 3 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
 0: $\gt\ $ 1: $\lt\ $ 2: $\geqq\ $ 3: $\leqq$

 Gx 軸と共有点を持つような a の値の範囲を表す不等式は\[ [サシ][ス]a[セ][ソ] \quad\cdots ② \]である。 a が②の範囲にあるとき、 p は $a=[タ]$ で最小値[チツテ]をとり、 $a=[ト]$ で最大値[ナニ]をとる。
 Gx 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の x 座標が $-1$ より大きくなるような a の値の範囲を表す不等式は\[ [ヌネ][ノ]a[ハ]\frac{[ヒフ]}{[ヘ]} \]である。

考え方

(1)の後半部分は、事前に求めた頂点の座標を使って考えましょう。

(2)の後半は、グラフがどうなっていれば求める条件を満たすか、を考えます。軸や $x=-1$ での y 座標で考えます。選択肢はイコールのあるなしも考えないといけないので、「イコールのときに条件を満たすかどうか」に注意して解いていきましょう。