センター試験 数学I・数学A 2014年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}},\ b=\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}$ とおく。

(1) $ab=[ア]$
 $a+b=[イ]([ウエ]+\sqrt{[オ]})$
 $a^2+b^2=[カ]([キ]-\sqrt{[ク]})$
である。

(2) $ab=[ア]$ と $a^2+b^2+4(a+b)=[ケコ]$ から、 a は\[ a^4+[サ]a^3-[シス]a^2+[セ]a+[ソ]=0 \]を満たすことがわかる。

考え方

(1)は、有理化をするのかな、と思いきや、別に有理化をする必要はありません。直接計算したほうが早いです。 $ab$ と $a+b$ を求めて、 $a^2+b^2$ を求める流れは、よくあるパターンですね。

(2)は、 $ab$ の値をどう使うかが少しわかりにくいかもしれません。ただ、 b が消えていることに気づけば、使い方はひらめくでしょう。