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【標準】相加・相乗平均の関係

🕒 2017/05/31 🔄 2023/07/13

ここでは、相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明問題を考えます。この関係をどう使えばいいか、いくつかの例を見ながら身につけていきましょう。

📘 目次

相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明問題

相加・相乗平均の関係とは、次のような内容でした。

相加・相乗平均の関係

$a\gt0$, $b\gt0$ のとき、次の不等式が成り立つ。\[ \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \]等号が成り立つのは、 $a=b$ のときである。

条件は正であることだけなので、使える箇所はすごくたくさんあります。たくさんあることはとてもいいのですが、条件がシンプル過ぎて、逆に、条件を見てもピンとこないので、困ってしまいます。

例題1

$x\gt0$ のとき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つのはいつか、答えなさい。\[ x+\frac{1}{x} \geqq 2 \]

この問題文を見ても、はじめはなかなか「相加・相乗平均の関係を使う」とは気づきにくいです。しかし、使ってみると、次のようにうまくいくことがわかります。

$x\gt 0$ なので、 $\dfrac{1}{x} \gt0$ も成り立ちます。よって、相加・相乗平均の関係より
\begin{eqnarray} & & x+\frac{1}{x} \\[5pt] &\geqq & 2\sqrt{ x\times\frac{1}{x} } \\[5pt] &=& 2 \end{eqnarray}が成り立つことがわかります。うまい具合に、 $x$ と $\dfrac{1}{x}$ が消えてくれました。これで、不等式が成り立つことはわかりました。

等号が成り立つのは、足しているものが等しいとき、つまり、 $x=\dfrac{1}{x}$ のときです。今、 $x\gt 0$ なので、この式から $x=1$ のときであることがわかります。

もう一問、見てみましょう。

例題2

$a$ が正のとき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つのはいつか、答えなさい。\[ 3a+\frac{2}{a} \geqq 2\sqrt{6} \]

これも、先ほどと同様に、 $3a$ と $\dfrac{2}{a}$ を掛けると文字が消えることを思い描きつつ、考えていきます。

$a\gt 0$ より、 $3a,\dfrac{2}{a}\gt 0$ だから、相加・相乗平均の関係より
\begin{eqnarray} & & 3a+\frac{2}{a} \\[5pt] &\geqq& 2\sqrt{3a\times\frac{2}{a} } \\[5pt] &=& 2\sqrt{6} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。また、等号が成り立つのは、 $3a=\dfrac{2}{a}$ のとき、つまり、 $a=\dfrac{\sqrt{6} }{3}$ であることがわかります。

これらが、相加・相乗平均の関係を使った、シンプルな不等式の証明問題です。