【標準】相加・相乗平均の関係を使うときの注意点

🕒 2017/06/01 🔄 2023/07/13

相加・相乗平均の関係を一度に2か所以上で使う場合、注意しないといけない点があります。ここでは、その注意点について見ていきます。

📘 目次

相加・相乗平均の関係を2か所以上で使う場合

例えば、 $a\gt 0$ のとき、 $a+\dfrac{4}{a}$ の最小値はいくつでしょうか。これは、相加・相乗平均の関係を用いて、次のように計算できます。\[ a+\dfrac{4}{a} \geqq 2 \sqrt{a\cdot\dfrac{4}{a} }=4 \]等号は、 $a=\dfrac{4}{a}$ のときに成立します。こうして、 $a=2$ のときに、最小値 $4$ をとることがわかります。

このように、相加・相乗平均の関係を使って最小値を求めることもできます。

次に、 $a, b\gt 0$ のときに、次の最小値を考えてみましょう。\[ \left(a+\frac{4}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right) \]これは、1つ目のカッコと2つ目のカッコに対して、相加・相乗平均を使えばよさそうですよね。1つ目から\[ a+\dfrac{4}{b} \geqq 2 \sqrt{a\cdot\dfrac{4}{b} }=4\sqrt{\frac{a}{b} } \]が得られ、2つ目から\[ b+\dfrac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{b\cdot\dfrac{1}{a} }=2\sqrt{\frac{b}{a} } \]が得られます。両辺を掛ければ、ルートの部分がきれいに消えて、\[ \left(a+\frac{4}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right) \geqq 8 \]と計算することができます。

しかし、これをもとに「最小値が $8$ だ」と結論付けるのは間違っています。さて、どうして間違いなのでしょうか。

相加・相乗平均の関係を2か所以上で使った場合の等号成立条件

間違いであることは、等号成立条件について考えてみるとわかります。1つ目のカッコ内に関して\[ a+\dfrac{4}{b} \geqq 4\sqrt{\frac{a}{b} } \]の等号は $a=\dfrac{4}{b}$ のときに成立します。つまり $ab=4$ のときです。2つ目のカッコに関して\[ b+\dfrac{1}{a} \geqq 2\sqrt{\frac{b}{a} } \]の等号は $b=\dfrac{1}{a}$ のときに成立します。つまり $ab=1$ のときです。ということは、これらを掛け合わせた\[ \left(a+\frac{4}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right) \geqq 8 \]の等号が成り立つとすると、 $ab=4$ かつ $ab=1$ のとき、となりますが、こんなことは起こりません。つまり、この不等式は等号が成り立つことはないんですね。

最小値を聞かれて、実現しない値を言っても意味がありません。確かに8以上にはなりますが、8になることはないので、最小値が8であるとはいえません。相加・相乗平均の関係を2か所以上で使った場合には、すべての不等式の等号が成立しなければいけませんが、本当にそういうことがあるのかは、きちんと考えないといけません。

では、上の問題はどう解けばいいかというと、展開してから解けばいいんですね。展開すると
\begin{eqnarray} & & \left(a+\frac{4}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right) \\[5pt] &=& ab +1 +4 +\frac{4}{ab} \\[5pt] &=& ab +\frac{4}{ab} +5 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、 $ab$ も $\dfrac{1}{ab}$ も正なので、相加・相乗平均の関係から、 \begin{eqnarray} & & ab +\frac{4}{ab} +5 \\[5pt] &\geqq& 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab} } +5 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。等号が成り立つ条件を求めるには $ab=\dfrac{4}{ab}$ を解けばいいです。こうして、 $ab=2$ のときに最小値 $9$ をとることがわかります。

相加・相乗平均の関係を複数箇所使う場合は、すべての等号が成り立つことがあるのか、注意して考えなくてはいけません。また、一度に複数個所で使うとうまくいかないことが多いので、できる限り1回だけ使うようにしましょう。