【標準】定積分で表されている関数（整式）

🕒 2017/11/15 🔄 2023/05/01

ここでは、定数項が定積分で表されている関数を求める問題を見ていきます。

📘 目次

定積分で表されている関数

例題

関数 $f(x)$ が次を満たすとき、 $f(x)$ を求めなさい。\[ f(x)=3x^2-2\int_0^1 f(t)dt \]

やっかいな感じがするのは、右辺の積分のところですよね。この積分を計算するには $f(x)$ がわかっていないといけませんが、それを求めないといけないんですよね。ぐるぐると循環してしまいます。

この積分 $\displaystyle \int_0^1 f(t)dt$ について考えてみましょう。これは、 $f(t)$ を t で定積分したものですね。 $F'(t)=f(t)$ とすると、これは、\[ F(1)-F(0) \]と一致します。これは、 t を含まない定数ですね。

このことを利用すれば、ぐるぐると循環することを止めることができます。この積分は定数なので、文字で置いて考えてみましょう。

$\displaystyle a=\int_0^1 f(t)dt$ とおきます。右辺は定数なので、 a は t や x に関係のない数になります。このとき、 $f(x)$ は\[ f(x)=3x^2-2a \]と書けます。置き換えただけです。置き換えただけなのですが、かなり見やすくなり、積分することも難しくなくなります。 $0$ から $1$ まで積分すると
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 f(t) dt \\[5pt] &=& \int_0^1 (3x^2-2a) dt \\[5pt] &=& \Big[ x^3-2ax \Big]_0^1 \\[5pt] &=& 1-2a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、そもそも a とは何だったかを思い出しましょう。上で定義したように、 $\displaystyle a=\int_0^1 f(t)dt$ ですね。そのため、この積分は $a$ と等しくなります。このことから、 \begin{eqnarray} a &=& 1-2a \\[5pt] 3a &=& 1 \\[5pt] a &=& \frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}と求めることができます。これを $f(x)=3x^2-2a$ に代入して\[ f(x)=3x^2-\frac{2}{3} \]と求められます。これが答えです。

今の場合、積分で書かれている部分は定数になることがわかります。そのため、文字で置いてみます。あとは、実際に積分をすることで、文字の部分が何であったかを求めることができます。こうして、もとの関数も求められる、という流れです。

少しパズルチックですね。