【応用】二次関数の最大・最小（軸が動く）

【応用】二次関数の最大・最小（区間が動く）では、定義域が動く場合に二次関数の最大値や最小値がどうなるかを見ました。ここでは、放物線の軸が左右に動く場合に最大・最小がどうなるかを見ていきます。

例題

まずは頂点を求めます。
\begin{eqnarray} y &=& x^2-2ax+2a+1 \\ &=& (x-a)^2-a^2+2a+1 \\ \end{eqnarray}これから、頂点が $(a,-a^2+2a+1)$ であることがわかります。

今考える範囲は $0\leqq x \leqq 2$ なので、区間は固定されています。しかし、頂点に文字が入っていることからもわかる通り、放物線自体が左右に動くんですね。 a の値によって放物線がどう動くかを示したものが次のグラフになります。

これをよく見ていると、最小値をとる場所は、放物線の軸が区間の左にあるときには区間の左端であり、やがて頂点にうつり、最終的に区間の右端へとうつっていきます。

この状況の境目はどこでしょうか。まず、「区間の左端で最小」となる状況から「頂点で最小」となる状況へ切り替わるタイミングは、区間の中に頂点が含まれるタイミングであることがわかります。つまり、区間の左端が頂点と重なる $a=0$ のタイミングです。

次に、「頂点で最小」から「区間の右端で最小」に切り替わるタイミングを考えます。これは、区間から頂点がはずれるタイミングであることがわかります。つまり、切り替わるのは区間の右端が頂点と重なる $a=2$ のときですね。区間がこれより左なら「頂点で最小」、右にあれば「区間の右端で最小」となります。

また、区間の右端での y の値は、 $x=2$ を代入して
\begin{eqnarray} & & 4-4a+2a+1 \\ &=& -2a+5 \\ \end{eqnarray}と求められます。

以上から、答えは次のようになります。

　$a \lt 0$ のときの最小値は $2a+1\ (x=0)$
　$0\leqq a \leqq 2$ のときの最小値は $-a^2+2a+1\ (x=a)$
　$2\lt a$ のときの最小値は $-2a+5\ (x=2)$

最小値をとる場所が a の値によって異なるので、このように場合分けをして答えることになります。

例題のつづき

続いて、(2)を考えます。

区間によって最大値をとる場所がかわることは、同じグラフを見ればわかると思います。

はじめのうちは右端、やがて左端で最大値をとることになります。この状況の境目は次の場面です。

区間の両端が同じ高さになったときです。放物線は軸に関して左右対称で、区間の幅が $2$ なので、こうなるのは $a=1$ のとき（区間の中心が放物線の軸上に来るとき）であり、このとき区間の両端で最大値をとります。その最大値は $x=0$ を代入して $y=3$ と求められます。また、これより放物線が左に来れば（つまり a が小さければ）区間の右端で、右にくれば区間の左端で最大値をとることが分かります。

以上から、答えは次のようになります。

　$a \lt 1$ のときの最大値は $-2a+5\ (x=2)$
　$a=1$ のときの最大値は $3\ (x=0,2)$
　$1 \lt a$ のときの最大値は $2a+1\ (x=0)$

おわりに

軸（頂点）が考えている区間からみてどこにあるかによって、最大値・最小値をとる場所がかわってきます。グラフをかいて、最大値・最小値をとる状況が変わるタイミングを見つけて答えましょう。