【基本】母集団分布

🕒 2023/05/28 🔄 2023/06/07

ここでは、母集団の分布についてみていきます。

📘 目次

母集団分布

ある高校の生徒を母集団とするとき、身長やテストの点数など、母集団の持っている特徴を数量で表したものを、変量(variate) といいます。

大きさ $N$ の母集団において、変量のとり得る値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ のどれかであるとし、 $x_k$ をとる度数が $f_k$ であったとします（$k=1,2,\cdots,n$）。このとき、度数分布表は次のようになります。

階級値	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
度数	$f_1$	$f_2$	$\cdots$	$f_n$	$N$

ここで、この母集団から、1個の要素を無作為に抽出するとします。

このときの変量の値を $X$ とすると、これが $x_k$ となる確率 $P(X=x_k)$ は $\dfrac{f_k}{N}$ です。相対度数ですね。なので、 $X$ の確率分布は次のようになります。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$\dfrac{f_1}{N}$	$\dfrac{f_2}{N}$	$\cdots$	$\dfrac{f_n}{N}$	$1$

この確率分布は、母集団の相対度数の分布と一致します。この確率分布のことを、母集団分布(population distribution) といいます。

母平均・母分散・母標準偏差

先ほどと同じように、大きさ $1$ の無作為標本における変量 $X$ について考えます。母集団における変量の平均値も、 $X$ の期待値（平均）も、以下の式で計算できます。\[ \sum_{k=1}^n x_k\cdot\frac{f_k}{N} \]この $X$ の期待値を、母平均(population mean) と呼びます。

母平均を $m$ とおくと、母集団における変量の分散も、 $X$ の分散も、以下の式で計算できます。\[ \sum_{k=1}^n (x_k-m)^2 \cdot\frac{f_k}{N} \]この $X$ の分散を、母分散(population variance) といいます。また、 $X$ の標準偏差は、母標準偏差(population standard deviation) といいます。

新しい用語が出てきていますが、ここまでの説明からもわかる通り、新しい計算方法が出てきたわけではありません。

例えば、0, 1, 2 と書かれたカードが、それぞれ、3, 5, 2 枚ずつあるとします。この10枚のカードを母集団とし、カードに書かれた数字を変量 $X$ とすると、$X$ の母集団分布は次のようになります。

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{5}{10}$	$\dfrac{2}{10}$	$1$

このことから、母平均は
\begin{eqnarray} & & 0\cdot \frac{3}{10}+1\cdot \frac{5}{10}+2\cdot \frac{2}{10} \\[5pt] &=& \frac{5+4}{10}=\frac{9}{10} \end{eqnarray}となります。母分散は \begin{eqnarray} & & 0^2\cdot \frac{3}{10}+1^2\cdot \frac{5}{10}+2^2\cdot \frac{2}{10}-\left(\frac{9}{10}\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{50+80-81}{100}=\frac{49}{100} \end{eqnarray}となり、母標準偏差は $\dfrac{7}{10}$ となります。