【基本】直線上の点の運動

🕒 2023/07/02

ここでは、数直線上を運動する点の速度などについて見ていきます。物理の分野のような内容です。

📘 目次

速度

数直線上を運動する点 $\mathrm{P}$ があったとします。この点の座標 $x$ が、時刻 $t$ を使って\[ x=f(t) \]というように、関数 $f(t)$ を使って表されているとします。

例えば、 $f(t)=3t$ であれば、 $1$ 秒後には $f(1)=3$ のところ、 $5$ 秒後には $f(5)=15$ のところにいる、ということです。

このとき、時刻 $t$ から $t+\Delta t$ までの平均速度を考えてみます。最初は $f(t)$ 、最後は $f(t+\Delta t)$ にいて、この間の時間が $\Delta t$ だから、平均速度は\[ \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} \]と表すことができます。文字で書くと難しく感じるかもしれませんが、小学校からずっとやっている、「距離÷時間」を計算しているだけです。

この平均速度の式で、 $\Delta t \to 0$ としてみます。この極限があれば、その値は、「その時点での瞬間の速度」ということができるでしょう。そのため、この極限値を、時刻 $t$ における点 $\mathrm{P}$ の 瞬間の速度(instantaneous velocity) といいます。単純に、速度(velocity) ともいいます。

速度は $v$ で表すことが多いです。上の内容を式で表すと、次のようになります。\[ v=\frac{dx}{dt}=f'(t) \]$v$ が正のときは、点 $\mathrm{P}$ は正の向きに動き、負のときは負の向きに動く、ということです。

速度の絶対値 $|v|$ は、速さといいます。日常生活では、速度も速さも同じような意味で使われますが、物理の世界では、速度の大きさを速さといい、両者を区別するので注意しましょう。

加速度

先ほどは、時間によって位置がどう変わるかを見ましたが、時間によって速度がどう変わるかを考えることもできます。この量も重要です。

速度 $v$ の時刻 $t$ に置ける変化率を、加速度(acceleration) といいます。この加速度を $\alpha$ とすると、次のような関係を考えていることになります。\[ \alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f^{\prime\prime}(t) \]

車でいうと、 $\alpha$ が正というのは、その瞬間の速度メーターが正の向きに動くことを表しています。つまり、加速しているということですね。逆に、負なら、減速していることになります。

等加速度運動

例えば、地上から物体を、初速度 $v_0$ $\mathrm{m/s}$ で真上に投げたとします。このとき、 $t$ 秒後の高さ $x$ $\mathrm{m}$ は、重力加速度 $g$ $\mathrm{m/s^2}$ を使って\[ x=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2 \]となることが知られています（物理の授業でやります）。

このことから、 $t$ 秒後における物体の速度 $v$ $\mathrm{m/s}$ は
\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& v_0-gt \end{eqnarray}となります。また、 $t$ 秒後における物体の加速度 $\alpha$ $\mathrm{m/s^2}$ は、さらに微分をして \begin{eqnarray} \frac{dv}{dt} &=& -g \end{eqnarray}となります。

このことから、加速度は $t$ に関係なく、ずっと $-g$ で一定だとわかります。このような運動のことを、等加速度運動といいます。

$v_0-gt=0$ のとき、つまり、 $t=\dfrac{v_0}{g}$ の瞬間では、速度が $0$ になります。モノを真上に投げると空中で一瞬止まるようなタイミングがありますが、それがこの速度 $0$ のタイミングということです。