【基本】定積分の性質

🕒 2017/11/10 🔄 2023/05/01

ここでは、定積分の性質をいろいろ見ていきます。なお、ここで出てくる関数はすべて整式である、とします。

📘 目次

和や定数倍の定積分

【基本】定積分で見たように、 $F'(x)=f(x)$ のとき、 $f(x)$ を a から b まで積分すると\[ \int_a^b f(x) dx = \Big[ F(x) \Big]_a^b =F(b)-F(a) \]となるのでした。不定積分は、 $F(x)+C$ というように積分定数が必要でしたが、定積分の場合は、\[F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a)\]となり、最終的に消えます。そのため、定積分の場合は、 $F(x)$ の定数部分は何でも構いません。

不定積分のときには、【基本】整式の不定積分で見たように、和や定数倍の不定積分を見ました。同じような等式が定積分でも成り立つことを見ていきましょう。

まず、和の定積分\[ \int_a^b (f(x)+g(x)) dx \]について考えましょう。 $f(x),g(x)$ の不定積分の1つを、それぞれ $F(x),G(x)$ とします。すると\[ (F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) \]となるので、
\begin{eqnarray} & & \int_a^b (f(x)+g(x)) dx \\[5pt] &=& \Big[ F(x)+G(x) \Big]_a^b \\[5pt] &=& F(b)+G(b)-F(a)-G(a) \\[5pt] &=& F(b)-F(a)+G(b)-G(a) \\[5pt] &=& \Big[ F(x) \Big]_a^b+\Big[ G(x) \Big]_a^b \\[5pt] &=& \int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となります。言葉で言うと、「和の定積分は、定積分の和」ということです。

定数倍の積分も計算しましょう。 k を定数とします。
\begin{eqnarray} & & \int_a^b kf(x) dx \\[5pt] &=& \Big[ k F(x) \Big]_a^b \\[5pt] &=& kF(b)-kF(a) \\[5pt] &=& k \Big[ F(x) \Big]_a^b \\[5pt] &=& k\int_a^b f(x) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となります。言葉で言うと、「定数倍の定積分は、定積分の定数倍」ということです。

定積分の性質（和・定数倍）

k を定数とし、 $f(x),g(x)$ を整式とする。このとき、次の式が成り立つ。 \begin{eqnarray} & & \int_a^b \{f(x)+g(x)\} dx = \int_a^b f(x) dx +\int_a^b g(x) dx \\ & & \int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx \end{eqnarray}

積分区間に関する定積分の性質

定積分には、積分区間（a から b まで、という区間）がありますが、これに関する性質も見ておきましょう。

$F'(x)=f(x)$ とします。このとき、「 a から a までの積分」というのはどうなるか考えてみましょう。これは、定義通り計算すれば求められます。
\begin{eqnarray} & & \int_a^a f(x) dx \\[5pt] &=& \Big[ F(x) \Big]_a^a \\[5pt] &=& F(a)-F(a) \\[5pt] &=& 0 \end{eqnarray}となります。

また、区間を入れ替えたらどうなるかを考えてみましょう。
\begin{eqnarray} & & \int_b^a f(x) dx \\[5pt] &=& \Big[ F(x) \Big]_b^a \\[5pt] &=& F(a)-F(b) \\[5pt] &=& -(F(b)-F(a)) \\[5pt] &=& -\int_a^b f(x) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となります。区間の始めと終わりを入れ替えると、マイナスがつくようになるんですね。

区間を途中で区切るとどうなるでしょうか。感覚的には、 a から c までと、 c から b までを合わせれば、 a から b まで、となりそうですが、実際にそうなるか計算してみましょう。
\begin{eqnarray} & & \int_a^c f(x) dx +\int_c^b f(x) dx \\[5pt] &=& \Big[ F(x) \Big]_a^c +\Big[ F(x) \Big]_c^b \\[5pt] &=& F(c)-F(a)+F(b)-F(c) \\[5pt] &=& F(b)-F(a) \\[5pt] &=& \int_a^b f(x) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となり、予想通りの結果になりましたね。 $F(c)$ が途中で打ち消し合うので、結果には影響しなくなります。ここで、注意としては、 $a\leqq c \leqq b$ でなくてもいい、ということです。 $0$ から $100$ まで、 $100$ から $1$ まで、という2つの区間の場合であっても、 $0$ から $1$ まで、と等しくなります（もちろん、積分される関数は同じでないといけませんが）。

定積分の性質（積分区間）

$f(x)$ を整式とする。このとき、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} & & \int_a^a f(x) dx = 0 \\ & & \int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \\ & & \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx+\int_c^b f(x) dx \end{eqnarray}

最後の式は、分解するために「左辺から右辺」へと式変形するために使うこともあるし、2つの積分をくっつけるために「右辺から左辺」へと式変形するために使うこともあります。これらの使い方は、今後いろいろなところで出てくることになります。