【基本】定積分と微分の関係

🕒 2017/11/11 🔄 2023/05/01

ここでは、定積分について簡単に振り返った後で、定積分と微分との関係について見ていきます。なお、ここで出てくる関数は整式であるとします。

📘 目次

定積分の復習

$F'(x)=f(x)$ のとき、 $F(x)$ は $f(x)$ の不定積分というのでした。 $f(x)$ の不定積分は、この $F(x)$ を使って\[ F(x)+C \]と書けるのでしたね（C は積分定数）。定数は微分すると $0$ になるので、微分して $f(x)$ となるのは、 $F(x)$ に定数を足したもの、になります。記号を使って書けば、\[ \int f(x)dx=F(x)+C \]となります。この不定積分は、 $F(x)+C$ なので、 x の関数です。

定積分についても振り返っておきましょう。 $f(x)$ の a から b までの定積分は\[ \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a) \]と表されるのでしたね。これは、不定積分のときとは異なり、 $F(x)+C$ ではなく、 $F(x)$ でいいのでした。定数部分は最終的に消えてしまうからです。 $F(x)$ で、 $x=b$ としたものから $x=a$ としたものを引いたものなので、この計算結果には、 x は出てきません。

$f(x)$ の不定積分は x の関数である、$f(x)$ の定積分は x の関数でない、となります。

定積分と微分の関係

$f(x)$ を積分するには、「微分して $f(x)$ となる関数」を見つけなければいけません。そのため、積分は微分の逆、と言えます。このことを端的に表す式があるので、その紹介をします。

その式は、「積分して微分すると元に戻る」ということを表す式なのですが、先ほど見た通り、定積分は x で積分すると x の関数ではなくなってしまいます。そのため、そのまま微分をしても $0$ となってしまいます。

これは、次のような関数を考えることで解決できます。\[ \int_a^x f(t)dt \]a から x までの定積分、ということです。ここで、 a は定数（x とは関係ない数）とします。積分区間に x があるので、文字がかぶらないように、 $dx$ ではなく $dt$ としています。

この式は、 x の関数となります。実際、次のように変形できます。
\begin{eqnarray} & & \int_a^x f(t)dt \\[5pt] &=& \Big[ F(t) \Big]_a^x \\[5pt] &=& F(x)-F(a) \\[5pt] \end{eqnarray}$dt$ があることから、この積分は t で積分することになります。最後の計算は、 $t=x$ としたものから $t=a$ としたものを引くことになります。 t は消えますが、 x は残ります。

最後の式 $F(x)-F(a)$ は x で微分することができて、その結果は\[ F'(x)=f(x) \]となります。つまり、積分して微分すると元に戻る、ということがわかります。

このことを、次のように表します。

定積分と微分の関係

$f(x)$ を整式とし、 a を定数とする。このとき、次の式が成り立つ。\[ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) \]

左辺にある $\dfrac{d}{dx}$ は、「その後の関数を x で微分する」ということです（参考：【標準】導関数のいろいろな表し方）。つまり、この式は「積分して微分すると元に戻る」ことを表しています。

微分積分学の基本定理

この式には「微分積分学の基本定理」という大げさな名前がついていて、教科書にもこの式が紹介されているのですが、今この段階でこの式を見せられても、あまりすごさは理解できません。かなり学習を進めていって、初めて理解できるものとなります。

歴史的には、「微分とは、接線の傾きを求めるためのもの」「積分とは、面積を求めるためのもの」と理解されていて、まったく別物だと思われていたんですね。しかし、研究を進めていくうちに、微分と積分にはつながりがあって、互いに逆の計算だったんだ、とわかったんです。そのため、「基本定理」という重大な名前がついて呼ばれています。

高校数学では、「積分は微分の逆だよ（積分するために、微分してその関数になるものを見つける）」というところから話が出発するので、「微分と積分が逆の計算だ」というのは当たり前に思えます。積分を「面積を求めるもの」という発想で考えだすと計算が難しいため、高校数学での「積分」は、研究の結果得られた「微分と積分は逆」を使うようになっています。