【基本】定積分

🕒 2017/11/09 🔄 2023/05/01

ここでは、面積と整式の不定積分との関係を振り返った後で、定積分について見ていきます。

📘 目次

面積と整式の不定積分

整式 $f(x)$ が、 $a\leqq x \leqq b$ のときに、 $f(x)\geqq 0$ だとします。このとき、 $y=f(x)$ と x 軸、そして、 $x=a$ と $x=b$ で囲まれた部分の面積を $S$ とします。

右端の区間を少し動かしたときに、この囲まれた部分の面積がどう変化するかを考えます。このときの面積の変動分を動かした幅で割ると、その区間での最大値と最小値の間にあるのでしたね。下の図は、 $a\leqq c \leqq b$, $h\gt 0$ として、 $x=c$ から $x=c+h$ へ動かしたときの図です。

そのため、区間の幅を小さくしていくと、「区間の幅で面積の変動分を割った値」は、左端での関数の値 $(=f(c))$ になる、つまり、面積を微分すると元の関数になる、ということが言えるのでした。

このことから、 $F(x)=\int f(x) dx$ とおくと\[ S=F(b)-F(a) \]となるのでした。少し話が速いと感じた場合は、【基本】面積と整式の不定積分での内容も見直してみましょう。

$f(x)\geqq 0$ という条件は、面積を考えるときに、 x 軸と交わらないようにするために使っています。将来的にはこの条件を外した場合も考えるのですが、そうするとまた別の新しい問題が出てきてしまいます。今の場合は、　$f(x)\geqq 0$ なら、不定積分を使って面積を表すことができる、という点をおさえておきましょう。

定積分

さて、上で見たように、面積が\[ S=F(b)-F(a) \]と書けることを見ました。「面積を求める」ということはこれからもよく使うため、右辺を表す記号があると便利ですね。

$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とします。つまり、 $F'(x)=f(x)$ が成り立つということです。このとき、 $F(b)-F(a)$ のことを、 $f(x)$ を使って\[ \int_a^b f(x) dx \]と書きます。不定積分のときと異なり、 $\int$ のところに数字が入ることになります。これを「 $f(x)$ の a から b までの定積分(definite integral) 」といいます。

また、 $F(b)-F(a)$ のことを、 $F(x)$ を使って、\[ \Big[ F(x) \Big]_a^b \]と書きます。

この定積分は、不定積分のときと異なり、積分定数は考えなくても構いません。というのも
\begin{eqnarray} & & \Big[ F(x)+C \Big]_a^b \\[5pt] &=& \Big\{ F(b)+C \Big\}-\Big\{ F(a)+C \Big\} \\[5pt] &=& F(b)-F(a) \\[5pt] &=& \Big[ F(x) \Big]_a^b \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、積分定数をどのようにとっても、最終的に消えます。 $f(x)$ の不定積分 $F(x)$ を計算するときに、定数の部分はどのように選んでも結果は変わりません。

定積分

整式 $f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とするとき、 $a$ から $b$ までの定積分は、次の式で定められる。\[ \int_a^b f(x) dx = \Big[ F(x) \Big]_a^b =F(b)-F(a) \]

冒頭の「面積と整式の不定積分」では、面積を考えるために $f(x)\geqq 0$ という条件下で考えましたが、この定積分の計算自体は、 $f(x)$ が負となる場合があっても構いません。定積分と面積との関係は、また後で見ることになります。

定積分を求めることを、「 $f(x)$ を a から b まで積分する」といいます。

また、「 a から b まで」というと、 $a\lt b$ でないといけないように感じるかもしれませんが、別に $a=b$ や $a\gt b$ でも構いません。どの場合でも、積分した結果は $F(b)-F(a)$ で表されます。

最後に計算例を挙げておきましょう。まず、 $\int_1^2 x^2 dx$ は、
\begin{eqnarray} & & \int_1^2 x^2 dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_1^2 \\[5pt] &=& \frac{8}{3}-\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{7}{3} \end{eqnarray}となります。これは、【基本】面積と整式の不定積分の最後でも出てきた例です。

$\int_{-1}^1 (x-1)(x+1) dx$ であれば、これはカッコの中を展開してから計算します。
\begin{eqnarray} & & \int_{-1}^1 (x-1)(x+1) dx \\[5pt] &=& \int_{-1}^1 (x^2-1) dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{1}{3}x^3-x \right]_{-1}^1 \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{3}-1\right)-\left(-\frac{1}{3}+1\right) \\[5pt] &=& -\frac{4}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。