【基本】連続関数

🕒 2018/08/31 🔄 2023/06/24

ここでは、連続関数や、その性質について見ていきます。

📘 目次

連続関数

【基本】関数の連続性では、関数がある点で連続であるとはどういうことかを見ました。関数 $f(x)$ に対し、 $x=a$ が定義域に含まれ、 $x\to a$ としたときに $f(x)$ が収束し、極限値が $f(a)$ となるときに、関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続である、というのでした。グラフでいうと、 $x=a$ のまわりで、グラフがつながっていることに対応しているのでしたね。

「ある点で連続」であるだけでなく、定義域のどの点でも連続になっている関数もあります。例えば、 $y=x^2$ のグラフは、1つの曲線でつながっていて、途切れているところはないですね。このような関数のことを、連続関数(continuous function) といいます。

連続関数

関数 $f(x)$ が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 $f(x)$ は連続関数である、という。

今までに見てきた関数のほとんどは連続関数なので、わざわざ「連続関数」という名前をつける必要性を感じられないかもしれません。しかし、それは今まで連続な関数が選ばれてきただけであって、運がよかった（？）だけなんですね。

今まで学んできた関数の中に、一次関数や二次関数や三次関数がありました。これらは、すべての実数で連続です。また、三角関数のうち、 $\sin x$ と $\cos x$ もすべての実数で連続です。指数関数 $f(x)=a^x$ もすべての実数で連続です（a は正で1以外の実数）。

無理関数 $f(x)=\sqrt{x}$ は、定義域は $x\geqq 0$ ですが、この範囲で連続です。 $x=0$ で連続かどうかは、 $x\to +0$ での極限だけをチェックして判断します。対数関数 $f(x)=\log_a x$ は、定義域が $x\gt 0$ で、この範囲で連続です。

分数関数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ は、定義域が $x\ne 0$ となります。 $x=0$ 以外では、グラフはつながっているので、この場合も定義域全体で連続です。三角関数の1つ、 $f(x)=\tan x$ は、 $x\ne \dfrac{2n-1}{2}\pi$ (n は整数) が定義域であり、この場合も定義域全体で連続となります。

実数全体が定義域の場合や、ある範囲だけが定義域の場合、いくつかの値以外が定義域の場合、いろんなケースがありますが、どんな場合でも、定義域で連続であれば、その関数は連続関数である、といいます。上に挙げた関数は、どれも、連続関数の例となっています。

また、連続関数を定数倍したもの、連続関数同士を足したり引いたり掛けたりしたもの、連続関数を別の連続関数（0となる場合を除く）で割ったものも、連続関数になります。

区間で連続

定義域全体で連続なら連続関数、という話をしましたが、「全体ではないけど、一部分だけなら連続」といいたいこともあります。

一般に、 $a\leqq x \leqq b$ を満たす $x$ の集合を閉区間(closed interval) といい、 $[a,b]$ で表します。また、 $a\lt x \lt b$ を満たす $x$ の集合を開区間(open interval) といい、 $(a,b)$ で表します。少しややこしいですが、この開区間を表す記号は、座標やベクトルの成分表示と見た目は同じですが、意味は全然違います。

この $[a,b]$ や $(a,b)$ での記号を使って、例えば $a\leqq x \lt b$ は $[a,b)$ と表します。また、 $x\geqq b$ は、 $[b,\infty)$ などと表します。 $\infty$ は数ではないので、 $[\ ,\ ]$ は使わずに $(\ ,\ )$ を使います。

$f(x)=[x]$ のグラフは上のようになりますが、グラフが切れていることからもわかる通り、この関数は連続関数ではありません。しかし、 $[0,1)$ 内の各点では連続となります。このように、ある区間のすべての点で $f(x)$ が連続なら、 $f(x)$ はその区間で連続である、といいます。上の例であれば、 $f(x)=[x]$ は、区間 $[0,1)$ で連続である、といいます。また、 $x=1$ では連続でないので、区間 $[0,1]$ では連続でないことがわかります。