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東京大学理系 2026年度第5問解説

🕒 2026/02/27

問題編

問題

　複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。複素数 $\alpha$ と $C$ 上の点 $\mathrm{P}(z)$ に対し、 $w=(z-\alpha)^3$ とおく。 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くときの点 $\mathrm{Q}(w)$ の軌跡を $D$ とする。

(1) $\alpha=-3$ とし、 $w$ の偏角 $\theta$ とおく。 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき、 $\sin\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha$ が次の条件を満たすように動く。

　条件： $D$ は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。

複素数平面上の点 $\mathrm{R}(\alpha)$ が動きうる範囲の面積を求めよ。

考え方

(1)は最終的な図形がどういうものかはわからなくても、 $\sin\theta$ だけを考えればいいので、必要なものだけに集中しましょう。

(2)は少し見方を変えましょう。 $\alpha$ を決めて、 $D$ の条件を満たすか、と考えるよりも、 $D$ の条件を満たすのは $\alpha$ がどういうときか、とするほうが考えやすいでしょう。とはいえ、難しいです。

解答編

問題

　複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。複素数 $\alpha$ と $C$ 上の点 $\mathrm{P}(z)$ に対し、 $w=(z-\alpha)^3$ とおく。 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くときの点 $\mathrm{Q}(w)$ の軌跡を $D$ とする。

(1) $\alpha=-3$ とし、 $w$ の偏角 $\theta$ とおく。 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき、 $\sin\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ。

解答

(1)
$z$ は原点を中心とする半径 $1$ の円周上を動くので、 $z-\alpha=z+3$ が描く軌跡は、 $3$ を中心とする半径 $1$ の円である。

よって、この $z+3$ の偏角を $t$ で表すことにすると、 $\sin t$ は、 $-\dfrac{1}{3}$ 以上 $\dfrac{1}{3}$ 以下の値をとることがわかる。

$w=(z-\alpha)^3$ なので、 $w$ の偏角 $\theta$ は $3t$ と書けるから
\begin{eqnarray} \sin \theta &=& \sin 3t \\[5pt] &=& 3\sin t-4\sin^3 t \\[5pt] \end{eqnarray}と書ける。ここで、 $-\dfrac{1}{3}\leqq s\leqq \dfrac{1}{3}$ における、 $f(s)=3s-4s^3$ がとりうる値の範囲を考える。 \begin{eqnarray} f'(s)=3-12s^2=3(1-2s)(1+2s) \end{eqnarray}であることから、 $f(s)$ は単調増加だとわかり \begin{eqnarray} f\left(-\dfrac{1}{3}\right) &=& 3\left(-\frac{1}{3}\right)-4\left(-\frac{1}{3}\right)^3=-\frac{23}{27} \\[5pt] f\left(\dfrac{1}{3}\right) &=& 3\left(\frac{1}{3}\right)-4\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{23}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

よって、 $-\dfrac{23}{27} \leqq \sin\theta \leqq \dfrac{23}{27}$ …（答）

解答編　つづき

問題

(2) $\alpha$ が次の条件を満たすように動く。

　条件： $D$ は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。

複素数平面上の点 $\mathrm{R}(\alpha)$ が動きうる範囲の面積を求めよ。

解答

(2)
$z$ は原点を中心とする半径 $1$ の円周上を動くので、 $z-\alpha$ が描く軌跡は、 $-\alpha$ を中心とする半径 $1$ の円である。

$w=(z-\alpha)^3$ が実軸の正の部分と共有点をもつことは、「 $w$ の偏角が、整数 $n$ を使って $2n\pi$ と書けることがある」ことと同値である。さらに、「 $z-\alpha$ の偏角が、整数 $n$ を使って $\dfrac{2n\pi}{3}$ と書けることがある」ことと同値である。

これは、さらに、円 $|z-\alpha|=1$ が、偏角が $0,\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$ の半直線のどれかと共有点をもつこと同値であることがわかる。

円 $|z-\alpha|=1$ が偏角 $0$ の半直線と共有点をもつ場合とは、 $-\alpha$ と偏角 $0$ の半直線との距離が $1$ 以下の場合のことであり、 $\alpha$ と偏角 $\pi$ の半直線との距離が $1$ 以下の場合のことだから、以下のような領域となる。

ただし、偏角が $0$ の半直線には原点は含まれないので、 $x\geqq 0$ における境界線上の点は含まない。

円 $|z-\alpha|=1$ が偏角 $\dfrac{2\pi}{3}$ の半直線と共有点をもつ場合とは、 $\alpha$ が偏角 $-\dfrac{2\pi}{3}$ の半直線との距離が $1$ 以下の場合のことだから、以下のような領域となる。

なお、偏角が $\dfrac{2\pi}{3}$ のときの領域は、偏角が $0$ のときの領域を、原点を中心に $120^{\circ}$ 回転した領域となる。

同様にすると、円 $|z-\alpha|=1$ が偏角 $\dfrac{4\pi}{3}$ の半直線と共有点をもつような $\alpha$ の領域は、さらに $120^{\circ}$ 回転した領域となる。なので、重ね合わせると、以下のようになる。

ここで、原点を中心とする半径 $1$ の円は3方向に延びる帯状の領域に含まれる。よって、円 $|z-\alpha|=1$ が、偏角が $0,\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$ の半直線のどれかと共有点をもつように $\alpha$ が動く領域は以下のようになる。

次に、$w=(z-\alpha)^3$ が実軸の負の部分と共有点をもつ場合を考える。ここまでと同様にすれば、「 $w$ の偏角が、整数 $n$ を使って $(2n+1)\pi$ と書けることがある」ことと同値であり、これは、さらに、円 $|z-\alpha|=1$ が、偏角が $\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}$ の半直線のどれかと共有点をもつこと同値である。よって、同様に考えれば、上の領域を原点を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転したものとなる。