東京大学 理系 2026年度 第4問 解説
問題編
問題
$k$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。 $C$ 上の2点 $\mathrm{P,Q}$ に対する以下の条件(＊) を考える。
条件(＊) 原点 $\mathrm{O}$, 点 $\mathrm{P}$, 点 $\mathrm{Q}$ は相異なり、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。
ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。
(1) 条件(＊) を満たす $\mathrm{P,Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。
(2) $k$ が(1)で定まる範囲にあるとする。 $\mathrm{P,Q}$ が条件(＊) を満たすように動くとき、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは $S=0$ とする。 $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。
考え方
(1)は、接線の傾きだけを考えればいいので、傾きだけを抜き出して考えましょう。2つの接線が60度で交わる、と考えるより、片方を60度回転するともう片方と平行になる、というように考えたほうが計算しやすいかもしれません。
(2)は接線同士の交点を結んで三角形を作って、その面積を考えるので、接線の方程式や交点の座標なども必要になってきます。できる限り計算を減らすようにしないと、式がぐちゃぐちゃになってくるので気を付けましょう。なお、 $\mathrm{P,Q}$ が動くと言ってますが、実際にはほとんど動きません。条件がきつすぎるので、該当する点は少ししかありません。
解答編
問題
$k$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。 $C$ 上の2点 $\mathrm{P,Q}$ に対する以下の条件(＊) を考える。
条件(＊) 原点 $\mathrm{O}$, 点 $\mathrm{P}$, 点 $\mathrm{Q}$ は相異なり、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。
ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。
(1) 条件(＊) を満たす $\mathrm{P,Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。
解答
(1)
$f(x)=x^3-kx$ とし、 $\mathrm{P,Q}$ の $x$ 座標を $p,q$ とする。条件より、 $p,q$ は $0$ でなく、 $p\ne q$ である。
$\mathrm{O,P,Q}$ における $C$ の接線を $\ell_{\mathrm{O}}$, $\ell_{\mathrm{P}}$, $\ell_{\mathrm{Q}}$ とおく。 $\ell_{\mathrm{O}}$ を反時計回りに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した直線が $\ell_{\mathrm{P}}$ と平行で、$\ell_{\mathrm{O}}$ を時計回りに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した直線が $\ell_{\mathrm{Q}}$ と平行としても、一般性を失わないので、以下、このように仮定する。
$f'(x)=3x^2-k$ なので、 $\ell_{\mathrm{O}}$, $\ell_{\mathrm{P}}$, $\ell_{\mathrm{Q}}$ の傾きは、それぞれ、 $-k$, $3p^2-k$, $3q^2-k$ となる。ここで、加法定理より
\begin{eqnarray}
\tan\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) &=& \dfrac{\tan\theta+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan\theta} \\[5pt]
\tan\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &=& \dfrac{\tan\theta-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}\tan\theta} \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つので、
\begin{eqnarray}
3p^2-k &=& \dfrac{-k+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k} \\[5pt]
3q^2-k &=& \dfrac{-k-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}k} \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。これより
\begin{eqnarray}
3p^2 &=& k+\dfrac{-k+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k} \\[5pt]
&=& \dfrac{\sqrt{3}k^2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}k+1} \\[5pt]
p^2 &=& \dfrac{k^2+1}{3k+\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{eqnarray}と
\begin{eqnarray}
3q^2 &=& k+\dfrac{-k-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}k} \\[5pt]
&=& k+\dfrac{k+\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1} \\[5pt]
&=& \dfrac{\sqrt{3}k^2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1} \\[5pt]
q^2 &=& \dfrac{k^2+1}{3k-\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。
$p\ne 0,q\ne 0$ なので、どちらも正である必要があるので、 $k\gt\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ が必要である。このとき、 $p,q$ が存在し、分母が異なるから $p\ne q$ も満たす。よって、このとき、条件を満たす $\mathrm{P,Q}$ が存在する。
よって、求める範囲は、 $k\gt\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ …（答）
解答編 つづき
問題
(2) $k$ が(1)で定まる範囲にあるとする。 $\mathrm{P,Q}$ が条件(＊) を満たすように動くとき、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは $S=0$ とする。 $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。
解答
(2)
(1)での計算より
\begin{eqnarray}
p^2 &=& \dfrac{k^2+1}{3k+\sqrt{3}} \\[5pt]
q^2 &=& \dfrac{k^2+1}{3k-\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つので、(1)で求めた $k\gt\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ の範囲では、
\begin{eqnarray}
p &=& \pm\sqrt{\dfrac{k^2+1}{3k+\sqrt{3}}} \\[5pt]
q &=& \pm\sqrt{\dfrac{k^2+1}{3k-\sqrt{3}}} \\[5pt]
\end{eqnarray}と、それぞれ2つの値をとりうることがわかる。
点 $(t,f(t))$ における $C$ の接線の方程式は
\begin{eqnarray}
y-f(t) &=& f'(t) (x-t) \\[5pt]
y &=& (3t^2-k) (x-t) +(t^3-kt) \\[5pt]
&=& (3t^2-k) x -3t^3+kt +(t^3-kt) \\[5pt]
&=& (3t^2-k) x -2t^3 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $\mathrm{O,P,Q}$ における接線の方程式は
\begin{eqnarray}
&\ell_{\mathrm{O}}:& y=-kx \\[5pt]
&\ell_{\mathrm{P}}:& y=(3p^2-k) x -2p^3 \\[5pt]
&\ell_{\mathrm{Q}}:& y=(3q^2-k) x -2q^3 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、 $\ell_{\mathrm{O}}$ と $\ell_{\mathrm{P}}$ との交点の $x$ 座標は
\begin{eqnarray}
(3p^2-k) x -2p^3 &=& -kx \\[5pt]
3p^2 x &=& 2p^3 \\[5pt]
x &=& \frac{2}{3}p \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、同様にすると、 $\ell_{\mathrm{O}}$ と $\ell_{\mathrm{Q}}$ との交点の $x$ 座標は $\dfrac{2}{3}q$ と求められる。
この2つの交点は、傾きが $-k$ の $\ell_{\mathrm{O}}$ 上にあるから、2交点間の距離は
\begin{eqnarray}
& &
\sqrt{k^2+1} \times \left|\dfrac{2}{3}p-\dfrac{2}{3}q\right| \\[5pt]
&=&
\frac{2\sqrt{k^2+1}}{3} |p-q| \\[5pt]
\end{eqnarray}とかける。面積 $S$ は、1辺がこの長さの正三角形の面積なので
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2\sqrt{k^2+1}}{3} |p-q| \right)^2 \\[5pt]
&=& \frac{\sqrt{3}}{9} (k^2+1) (p-q)^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。冒頭の計算より、 $p$ は絶対値が同じで符合が異なる値をとり、$q$ も同様なので、 $p,q$ が異符号のときに $S$ は最大、 同符号のときに最小になることがわかる。
\begin{eqnarray}
& &
p^2+q^2 \\[5pt]
&=&
\dfrac{k^2+1}{3k+\sqrt{3}} +\dfrac{k^2+1}{3k-\sqrt{3}} \\[5pt]
&=&
(k^2+1) \cdot \dfrac{6k}{9k^2-3} \\[5pt]
&=&
\dfrac{2k(k^2+1)}{3k^2-1} \\[5pt]
& &
p^2q^2 \\[5pt]
&=&
\dfrac{k^2+1}{3k+\sqrt{3}} \cdot \dfrac{k^2+1}{3k-\sqrt{3}} \\[5pt]
&=&
\dfrac{(k^2+1)^2}{9k^2-3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、今考えている範囲では $k\gt\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ であることから\[ pq=\dfrac{k^2+1}{\sqrt{3}\sqrt{3k^2-1}} \]とかける。これらより、
\begin{eqnarray}
\frac{M}{m} &=& 4 \\[5pt]
\frac{p^2+2|pq|+q^2}{p^2-2|pq|+q^2} &=& 4 \\[5pt]
p^2+q^2+2|pq| &=& 4(p^2+q^2)-8|pq|
\\[5pt]
3(p^2+q^2) &=& 10|pq|
\\[5pt]
3\cdot\dfrac{2k(k^2+1)}{3k^2-1} &=& 10 \cdot \dfrac{k^2+1}{\sqrt{3}\sqrt{3k^2-1}} \\[5pt]
\dfrac{6k}{3k^2-1} &=& \dfrac{10}{\sqrt{3}\sqrt{3k^2-1}} \\[5pt]
3\sqrt{3}k &=& 5\sqrt{3k^2-1} \\[5pt]
27k^2 &=& 75k^2-25 \\[5pt]
48k^2 &=& 25 \\[5pt]
k^2 &=& \frac{25}{48} \\[5pt]
k &=& \frac{5}{12}\sqrt{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。なお、これは $k\gt\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4}{12}\sqrt{3}$ を満たす。
以上から、 $k=\dfrac{5}{12}\sqrt{3}$ …（答）
