東京大学 理系 2026年度 第3問 解説
問題編
問題
座標空間内の原点を中心とする半径 $5$ の球面を $S$ とする。 $S$ 上の相異なる3点 $\mathrm{P,Q,R}$ が次の条件を満たすように動く。
条件： $\mathrm{P,Q}$ は $xy$ 平面上にあり、三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心は $\mathrm{G}(2,0,1)$ である。
以下の問いに答えよ。
(1) 線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ。
(2) 線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。
考え方
$\mathrm{R}$ がどのように動くかはわかりやすいです。また、$\mathrm{M}$ がどのような図形の上にいるかも、まだわかりやすいです。ただ、 $\mathrm{M}$ を決めたときに、ちゃんと他の点が条件を満たすようになっているかどうかは、確認が必要です。
(2)はさらに難易度が上がります。(1)と同様に、 $\mathrm{M}$ を利用して考えるといいでしょう。 $\mathrm{PQ}$ を動かしてどの点を通るか、と考えるよりも、点を固定してその点を通るような $\mathrm{PQ}$ があるか、 $\mathrm{M}$ があるか、と考えたほうがやりやすいとは思います。が、それでも考えにくいです。
解答編
問題
座標空間内の原点を中心とする半径 $5$ の球面を $S$ とする。 $S$ 上の相異なる3点 $\mathrm{P,Q,R}$ が次の条件を満たすように動く。
条件： $\mathrm{P,Q}$ は $xy$ 平面上にあり、三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心は $\mathrm{G}(2,0,1)$ である。
以下の問いに答えよ。
(1) 線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ。
解答
(1)
$\mathrm{P,Q}$ は $xy$ 平面上にあるので、それぞれの座標は $(x_p,y_p,0)$, $(x_q,y_q,0)$ とかける。また、 $S$ 上にあるので、 $x_p^2+y_p^2=x_q^2+y_q^2=5^2$ を満たす。 $\mathrm{R}$ の座標を $(x_r,y_r,z_r)$ とすると、三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心が $(2,0,1)$ であることから、\[ \dfrac{x_p+x_q+x_r}{3}=2, \ \dfrac{y_p+y_q+y_r}{3}=0, \ \dfrac{0+0+z_r}{3}=1 \]となる。よって、 $z_r=3$ である。また、 $x_r^2+y_r^2=25-z_r^2=16$ であることから、 $0\leqq \theta_r\lt 2\pi$ を使って\[ x_r=4\cos\theta_r,\ y_r=4\sin\theta_r \]とかける。これより
\begin{eqnarray}
x_p+x_q+x_r &=& 6 \\[5pt]
\frac{x_p+x_q}{2} &=& 3-2\cos\theta_r \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ち、
\begin{eqnarray}
y_p+y_q+y_r &=& 0 \\[5pt]
\frac{y_p+y_q}{2} &=& -2\sin\theta_r \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって、 $\mathrm{M}$ の座標を $(x_m,y_m,0)$ とおくと
\begin{eqnarray}
x_m &=& 3-2\cos\theta_r \\[5pt]
y_m &=& -2\sin\theta_r
\end{eqnarray}となる。ここで、 $\cos^2\theta_r+\sin^2\theta_r=1$ が成り立つことから
\begin{eqnarray}
\left(\frac{3-x_m}{2}\right)^2+\left(-\frac{y_m}{2}\right)^2 &=& 1 \\[5pt]
(x_m-3)^2+y_m^2 &=& 2^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。よって、 $\mathrm{M}$ は、円 $(x-3)^2+y^2 = 2^2$ の上にあることがわかる。この円を $C$ とおく。
逆に、円 $C$ の上にある点を $\mathrm{M}(3-2\cos\theta, -2\sin\theta,0)$ と表し、$xy$ 平面上で $\mathrm{M}$ を通り、 $\mathrm{OM}$ と垂直な直線が円 $x^2+y^2=5^2$ と異なる2点 $\mathrm{P,Q}$ で交わる場合は、 $\triangle \mathrm{OPM}$ と $\triangle \mathrm{OQM}$ は合同だから、 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{PQ}$ の中点となる。また、 $\mathrm{R}$ を $(4\cos\theta,4\sin\theta,3)$ とおけば、問題文の条件を満たすことがわかる。
$\mathrm{OM}$ と $C$ が異なる2点で交わるのは、 $\mathrm{M}$ が円 $x^2+y^2=5^2$ の内部にあるときであり、 $C$ 上の点のうち $(5,0)$ 以外の点である。また、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点は必ず円の内部なので、中点が $(5,0)$ になることはないから、 $\mathrm{M}$ の軌跡は、 $C$ のうち、 $(5,0)$ 以外の点となる。よって、図示すると以下の通りとなる。
（答）
解答編 つづき
問題
(2) 線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。
解答
(2)
以下では、 $xy$ 平面上で考える。
まず、 $\mathrm{P,Q}$ は、円 $x^2+y^2=5^2$ 上の点なので、線分 $\mathrm{PQ}$ はこの円の円周及び内部のみを通過する。
(1)より、 $\mathrm{M}$ の座標は、 $\theta$ を使って、$(3-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ と書ける（ただし、 $0\leqq \theta\lt\pi$, $\pi\lt \theta\lt2\pi$）。
線分 $\mathrm{PQ}$ は円の弦でもあるから、 $\mathrm{OM}\perp\mathrm{PQ}$ が成り立つ。
もし、点 $\mathrm{T}(x,y)$ が線分 $\mathrm{PQ}$ 上にあるなら、\[ \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MT}}=0 \]が成り立つ。これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{OT}} - \overrightarrow{\mathrm{OM}} \right) &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OT}} &=& |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2 \\[5pt]
(3-2\cos\theta)x+(-2\sin\theta)y &=& (3-2\cos\theta)^2+(-2\sin\theta)^2 \\[5pt]
3x-2x\cos\theta-2y\sin\theta &=& 13-12\cos\theta \\[5pt]
(12-2x)\cos\theta-2y\sin\theta &=& 13-3x \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって、この式を満たすような $\theta$ が存在する条件を考える。
ここで、\[ k=\sqrt{(12-2x)^2+(-2y)^2} \]とおくと
\begin{eqnarray}
\frac{12-2x}{k}\cos\theta+\dfrac{-2y}{k}\sin\theta &=& \sin(\theta+\alpha)\\[5pt]
\end{eqnarray}を満たすような $\alpha$ が必ず存在する。なので、
\begin{eqnarray}
\frac{12-2x}{k}\cos\theta+\dfrac{-2y}{k}\sin\theta=\frac{13-3x}{k}
\end{eqnarray}の絶対値が $1$ 以下なら、 $\theta$ が存在することになる。よって、この条件を求めればよい。
\begin{eqnarray}
& & \left| \frac{13-3x}{k} \right|^2 \leqq 1 \\[5pt]
& & (13-3x)^2 \leqq (12-2x)^2+(-2y)^2 \\[5pt]
& & 9x^2-78x+169 \leqq 4x^2-48x+144+4y^2 \\[5pt]
& & 5x^2-30x-4y^2 \leqq -25 \\[5pt]
& & 5(x-3)^2-4y^2 \leqq -25+45 \\[5pt]
& & \frac{(x-3)^2}{4}-\frac{y^2}{5} \leqq 1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
なお、\[ (12-2x)\cos\theta-2y\sin\theta = 13-3x \]の式で、 $\theta=\pi$ とすると、 $x=5$ となるので、 $(5,0)$ は通らない。他の角でこの点を通る可能性はあるが、この式に $x=5,y=0$ を代入すると\[ 2\cos\theta=-2 \]となり、 $\theta=\pi$ となるので、他の角でも $(5,0)$ を通らないことがわかる。
また、 $x^2+y^2=5^2$ と $\dfrac{(x-3)^2}{4}-\dfrac{y^2}{5} =1$ の交点は、１つ目の式と２つ目の式を $5$ 倍したものを辺々足して
\begin{eqnarray}
x^2+\frac{5}{4}(x-3)^2 &=& 25+5 \\[5pt]
4x^2+5(x^2-6x+9) &=& 120 \\[5pt]
9x^2-30x-75 &=& 0 \\[5pt]
3x^2-10x-25 &=& 0 \\[5pt]
(3x+5)(x-5) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}より、 $\left(-\dfrac{5}{3},\pm\dfrac{10}{3}\sqrt{2} \right)$, $(5,0)$ であることがわかる。
以上から
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2\leqq 25 \\[5pt]
& & \frac{(x-3)^2}{4}-\frac{y^2}{5} \leqq 1 \\[5pt]
& & (x,y)\ne(5,0)
\end{eqnarray}の3つの条件を満たす $(x,y)$ は、\[ (12-2x)\cos\theta-2y\sin\theta = 13-3x \]を満たすような $\pi$ と異なる $\theta$ が存在するので、点 $(3-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ を $\mathrm{M}$ とし、この点を通り $\mathrm{OM}$ に垂直な線を引いて $x^2+y^2=25$ と交わる2点を $\mathrm{P,Q}$ とおけば、線分 $\mathrm{PQ}$ が $(x,y)$ を通るようにできる。
よって、求める範囲は、下の図の色のついた部分。ただし、境界線上の点は $(5,0)$ のみ除く。
（答）
