東京大学 理系 2026年度 第2問 解説
問題編
問題
$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合
$\{(x,y)\mid x,y$ は $1\leqq x\leqq3,1\leqq y\leqq n$ を満たす整数 $\}$
から相異なる3点を選ぶ。ただし、どの3点も等確率で選ばれるものとする。選んだ3点が三角形の3頂点となる確率を $p_n$ とする。
(1) $p_5$ を求めよ。
(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする。 $p_{2m}$ を求めよ。
考え方
「3点が三角形の3頂点となる」系の問題はどこかでやったことがあるはずです。どういうアプローチがあったか思い出しましょう。
$x$ 座標は3種類しかないので、まずは $x$ 座標について考えていくのがやりやすいでしょう。
方針も立てやすく、場合分けもそんなに多くないし、計算も多くないです。計算間違いに注意して解いていきましょう。
解答編
問題
$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合
$\{(x,y)\mid x,y$ は $1\leqq x\leqq3,1\leqq y\leqq n$ を満たす整数 $\}$
から相異なる3点を選ぶ。ただし、どの3点も等確率で選ばれるものとする。選んだ3点が三角形の3頂点となる確率を $p_n$ とする。
(1) $p_5$ を求めよ。
解答
(1)
3点を選ぶ方法は ${}_{15} \mathrm{ C }_3=455$ 通りであり、どの方法も起こる確率は等しい。
選んだ3点を $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2),$ $(x_3,y_3)$ とする。なお、 $x_1\leqq x_2\leqq x_3$ とする。また、相異なる3点が三角形の3頂点とならないのは、3点が一直線上にあるときである。そこで、まず、3点が一直線上にある場合を考えることにする。
(i) $x_1=x_2$ のとき
3点が一直線上にあるとき、 $x_1=x_2=x_3$ となる。このとき、 $x_1$ の選び方が $3$ 通りで、 $y_1,y_2,y_3$ の選び方は ${}_{5} \mathrm{ C }_3$ 通りなので、一直線上にあるような選び方は\[ 3\cdot {}_{5} \mathrm{ C }_3=30 \]通りである。
(ii) $x_1 \lt x_2$ のとき
3点が一直線上にあるとき、 $x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3$ となる。また、一直線上にあるのは、\[ y_2-y_1=y_3-y_2 \]のときなので、この直線の傾きは整数で、最大でも $\dfrac{5-1}{2}=2$ であり、最小でも $-2$ であることがわかる。
傾きが $2$ となるのは、 $x_1=1$ のときのみ。傾きが $1$ となるのは、 $x_1=1,2,3$ のとき。傾きが $0$ となるのは、 $x_1=1,2,3,4,5$ のとき。傾きが $-1,-2$ のときも同様に考えると、3点の選び方は\[ 1+3+5+3+1=13 \]通りである。
(i)(ii)より、求める確率は\[ p_5=1-\dfrac{30+13}{455}=\dfrac{412}{455} \]となる。…（答）
解答編 つづき
問題
(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする。 $p_{2m}$ を求めよ。
解答
(2)
3点を選ぶ方法は ${}_{6m} \mathrm{ C }_3 = m(6m-1)(6m-2)$ 通りであり、どの方法も起こる確率は等しい。
(1)と同様に、選んだ3点を $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2),$ $(x_3,y_3)$ とおき、 $x_1\leqq x_2\leqq x_3$ とする。3点が一直線上にあるような選び方を考える。
(i) $x_1=x_2$ のとき
$x_1=x_2=x_3$ となる。このとき、 $x_1$ の選び方が $3$ 通りで、 $y_1,y_2,y_3$ の選び方は ${}_{2m} \mathrm{ C }_3$ 通りなので、一直線上にあるような選び方は\[ 3\cdot {}_{2m} \mathrm{ C }_3=m(2m-1)(2m-2) \]通りである。
(ii) $x_1 \lt x_2$ のとき
$x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3$ となる。また、一直線上にあるとき、この直線の傾きは整数で、最大でも $m-1$ であり、最小でも $-(m-1)$ であることがわかる。
傾きが $m-1$ となるのは、 $x_1=1,2$ のとき。傾きが $m-2$ となるのは、 $x_1=1,2,3,4$ のとき。他のときも同様に考えると、3点の選び方は
\begin{eqnarray}
& &
2+4+\cdots+(2m-2)+2m+(2m-2)+\cdots+2 \\[5pt]
&=&
2\{1+2+\cdots+(m-1)+m\}+2\{1+2+\cdots+(m-1)\} \\[5pt]
&=&
m(m+1)+m(m-1) \\[5pt]
&=&
2m^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}
(i)(ii)より、求める確率は
\begin{eqnarray}
p_{2m}
&=&
1-\frac{m(2m-1)(2m-2)+2m^2}{m(6m-1)(6m-2)} \\[5pt]
&=&
1-\frac{(2m-1)(2m-2)+2m}{(6m-1)(6m-2)} \\[5pt]
&=&
1-\frac{4m^2-6m+2+2m}{(6m-1)(6m-2)} \\[5pt]
&=&
\frac{(6m-1)(6m-2)-(4m^2-4m+2)}{(6m-1)(6m-2)} \\[5pt]
&=&
\frac{32m^2-14m}{(6m-1)(6m-2)} \\[5pt]
&=&
\frac{m(16m-7)}{(6m-1)(3m-1)} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。…（答）
補足
$x_1 \lt x_2$ のときは、以下のように考えてもいいです。
一直線上にあるのは、\[ y_2-y_1=y_3-y_2 \]を満たすときであり、\[ y_1+y_3=2y_2 \]のときです。なので、 $y_1,y_3$ の偶奇が一致することと同値です。 $1$ 以上 $2m$ 以下の整数のうち、偶数も奇数も $m$ 個ずつあるので、 $y_1,y_3$ が偶数同士となる選び方も奇数同士となる選び方もそれぞれ $m^2$ 通りずつあります。なので、 $2m^2$ 通りです。
