東京大学 理系 2026年度 第1問 解説
問題編
問題
(1) 関数 $f(\theta)=\sin\theta-\theta+\dfrac{\theta^3}{6}$ の区間 $-1\leqq \theta\leqq 1$ における最大値 $M$ および最小値 $m$ を求めよ。
(2) (1)で定めた $M$ に対し、次の不等式を示せ。\[ \dfrac{7}{8}\pi \leqq \int_0^{2\pi} \sin(\cos x-x)dx \leqq \dfrac{7}{8}\pi+4M \]
考え方
(1)は区間が少し気持ち悪いですが、関数の挙動は複雑ではないのでそんなにてこずることはないでしょう。
ただ、(2)はやっかいです。まず被積分関数が気持ち悪いです。(1)の内容を使うと予想して変形する必要がありますが、見慣れない形の関数なのでとっつきにくいです。
具体的な積分の値を計算するまでにも少し考えないといけないことがあり、さらに積分の計算自体も手間がかかります。1問目からこれは厳しいです。
解答編
問題
(1) 関数 $f(\theta)=\sin\theta-\theta+\dfrac{\theta^3}{6}$ の区間 $-1\leqq \theta\leqq 1$ における最大値 $M$ および最小値 $m$ を求めよ。
解答
(1)
\begin{eqnarray}
f(-\theta)
&=&
\sin(-\theta)-(-\theta)+\dfrac{(-\theta)^3}{6} \\[5pt]
&=&
-\sin \theta +\theta -\dfrac{\theta^3}{6} \\[5pt]
&=&
-f(\theta) \\[5pt]
\end{eqnarray}より、 $0\leqq \theta\leqq 1$ の範囲で考える。
\begin{eqnarray}
f'(\theta) &=& \cos\theta-1+\dfrac{\theta^2}{2} \\[5pt]
f^{\prime\prime}(\theta) &=& -\sin\theta+\theta \\[5pt]
f^{\prime\prime\prime}(\theta) &=& -\cos\theta+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}だから、 $0\lt \theta\leqq 1$ の範囲で、 $f^{\prime\prime\prime}(\theta)\gt 0$ となる。これと $f^{\prime\prime}(0)=0$ より、 $0\lt \theta\leqq 1$ の範囲で、 $f^{\prime\prime}(\theta)\gt 0$ となる。これと $f^{\prime}(0)=0$ より、 $0\lt \theta\leqq 1$ の範囲で、 $f^{\prime}(\theta)\gt 0$ となる。
よって、 $f(\theta)$ は、 $0\leqq \theta\leqq 1$ の範囲で狭義単調増加なので、この範囲での最小値は $f(0)=0$ で、最大値は $f(1)$ だから、\[ M=f(1)=\sin 1-\dfrac{5}{6} \]となる。 $f(-\theta)=-f(\theta)$ より、 $m=-M=-\sin 1+\dfrac{5}{6}$ となる。
以上から、 $M=\sin 1-\dfrac{5}{6}$, $m=-\sin 1+\dfrac{5}{6}$ …（答）
解答編 つづき
問題
(2) (1)で定めた $M$ に対し、次の不等式を示せ。\[ \dfrac{7}{8}\pi \leqq \int_0^{2\pi} \sin(\cos x-x)dx \leqq \dfrac{7}{8}\pi+4M \]
解答
(2)
加法定理より
\begin{eqnarray}
& &
\sin(\cos x-x) \\[5pt]
&=&
\sin(\cos x)\cos x-\cos(\cos x)\sin x \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
(\sin(\cos x))' &=& \cos(\cos x) \cdot (-\sin x)
\end{eqnarray}だから
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{2\pi} \left(-\cos(\cos x)\sin x\right) dx \\[5pt]
&=&
\Big[\sin(\cos x)\Big]_0^{2\pi} \\[5pt]
&=&
0
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{2\pi} \sin(\cos x-x)dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{2\pi} \Big( \sin(\cos x)\cos x-\cos(\cos x)\sin x \Big) dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
また、 $t=2\pi -x$ とおくと
\begin{eqnarray}
& &
\int_{\pi}^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx \\[5pt]
&=&
\int_{\pi}^{0} \sin(\cos (2\pi-t))\cos (2\pi-t) \cdot(-1) dt \\[5pt]
&=&
\int_{\pi}^{0} \sin(\cos t)\cos t \cdot(-1) dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi} \sin(\cos x)\cos x dx \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、 $t=\pi -x$ とおくと
\begin{eqnarray}
& &
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(\cos x)\cos x dx \\[5pt]
&=&
\int_{\pi/2}^{0} \sin(\cos (\pi-t))\cos (\pi-t) \cdot(-1) dt \\[5pt]
&=&
\int_{\pi/2}^{0} \sin(-\cos t) \cdot(-\cos t) \cdot(-1) dt \\[5pt]
&=&
\int_{\pi/2}^{0} \sin(\cos t) \cos t \cdot(-1) dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi/2} \sin(\cos x)\cos x dx \\[5pt]
\end{eqnarray}となることから
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx &=& 4\int_0^{\pi/2} \sin(\cos x)\cos x dx
\end{eqnarray}となることがわかる。
ここで、 $\theta=\cos x$ として(1)を適用すると、 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲では、 $\cos x\geqq 0$ であることも使えば
\begin{eqnarray}
& & 0 \leqq \sin(\cos x)-\cos x+\dfrac{\cos^3 x}{6} \leqq M \\[5pt]
& & 0 \leqq \sin(\cos x)\cos x-\cos^2 x+\dfrac{\cos^4 x}{6} \leqq M\cos x \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つことがわかる。
それぞれの項を積分するために
\begin{eqnarray}
\cos^2 x &=& \dfrac{\cos 2x+1}{2} \\[5pt]
\cos^4 x &=& \left(\dfrac{\cos 2x+1}{2}\right)^2 \\[5pt]
&=& \dfrac{\cos^2 2x +2\cos 2x+1}{4} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\cos 4x+1}{2} +\dfrac{2\cos 2x+1}{4} \\[5pt]
&=& \dfrac{\cos 4x+4\cos 2x+3}{8} \\[5pt]
\end{eqnarray}と変形すれば
\begin{eqnarray}
& &
4\int_0^{\pi/2} \left( -\cos^2 x+\dfrac{\cos^4 x}{6} \right) dx \\[5pt]
&=&
4\int_0^{\pi/2} \left( -\dfrac{\cos 2x+1}{2}+\dfrac{\cos 4x+4\cos 2x+3}{6\cdot 8}\right) dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi/2} \left( -2\cos 2x-2+\dfrac{\cos 4x+4\cos 2x+3}{12}\right) dx \\[5pt]
&=&
\left[ -\sin 2x-2x+\frac{\sin 4x}{48}+\frac{\sin 2x}{6} +\frac{x}{4}\right]_0^{\pi/2}\\[5pt]
&=&
\left[ -2x+\frac{x}{4}\right]_0^{\pi/2}\\[5pt]
&=&
-\frac{7}{4} \cdot \frac{\pi}{2} =-\frac{7}{8}\pi \\[5pt]
\end{eqnarray}と
\begin{eqnarray}
& &
4\int_0^{\pi/2} M\cos x dx \\[5pt]
&=&
4M \Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} \\[5pt]
&=&
4M
\end{eqnarray}となるので、
\[ 0 \leqq \sin(\cos x)\cos x-\cos^2 x+\dfrac{\cos^4 x}{6} \leqq M\cos x \]の各辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分して $4$ 倍すると
\begin{eqnarray}
0 \leqq \int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx -\frac{7}{8}\pi \leqq 4M \\[5pt]
\frac{7}{8}\pi \leqq \int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx \leqq \frac{7}{8}\pi+4M \\[5pt]
\end{eqnarray}となることが示せた。
（終）
