東京大学 理系 2025年度 第4問 解説
問題編
問題
この問いでは、 $0$ 以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。 $a$ を正の整数とし、 $f_a(x)=x^2+x-a$ とおく。
(1) $n$ を正の整数とする。 $f_a(n)$ が平方数ならば、 $n\leqq a$ であることを示せ。
(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件(i), (ii) が同値であることを示せ。
(i) $N_a=1$ である。
(ii) $4a+1$ は素数である。
考え方
値を見て平方数になるかどうかを考えるよりも、何かを2乗してそれと一致することがあるかどうかを考えたほうがわかりやすいと思います。
(2)の(ii)の使い方が難しいです。 $4a+1$ が素数になるとき $a$ はどうなっているか、という方向で考え出すと沼にハマってしまいます。式変形をして $4a+1$ を作り出す方法を考えましょう。
解答編
問題
この問いでは、 $0$ 以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。 $a$ を正の整数とし、 $f_a(x)=x^2+x-a$ とおく。
(1) $n$ を正の整数とする。 $f_a(n)$ が平方数ならば、 $n\leqq a$ であることを示せ。
解答
(1)
\begin{eqnarray}
& &
(n+1)^2-f_a(n) \\[5pt]
&=&
n^2+2n+1-(n^2+n-a) \\[5pt]
&=&
n+1+a \gt 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $f_a(n)$ が平方数ならば $f_a(n)\leqq n^2$ である。よって、
\begin{eqnarray}
& & n^2+n-a \leqq n^2 \\[5pt]
& & n \leqq a \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。（終）
解答編 つづき
問題
(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件(i), (ii) が同値であることを示せ。
(i) $N_a=1$ である。
(ii) $4a+1$ は素数である。
解答
(2)
(i)の否定と(ii)の否定が同値であることを示す。
まず、 $f_a(a)=a^2$ なので、 $f_a(a)$ は平方数である。
このことと(1)とを合わせると、 $N_a\ne 1$ であることは、 $1\leqq n\lt a$ で $f_a(n)$ が平方数になるものが存在することと同値である。
$1\leqq n\lt a$ で $f_a(n)$ は平方数とする。このとき、 $m=\sqrt{f_a(n)}$ とすると、 $m$ は $0$ 以上の整数である。
\begin{eqnarray}
n^2+n-a &=& m^2 \\[5pt]
4n^2+4n-4a &=& 4m^2 \\[5pt]
4n^2+4n+1-4a-1 &=& 4m^2 \\[5pt]
(2n+1)^2-(2m)^2 &=& 4a+1 \\[5pt]
(2n+2m+1)(2n-2m+1) &=& 4a+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}ここで、 $n\lt a$ より、 $m^2=n^2+n-a\lt n^2$ だから、 $m \lt n$ なので、最後の式より、 $4a+1$ は素数ではない。
逆に、 $4a+1$ が素数ではないとすると、3以上の奇数の積で表すことができるから、\[ 4a+1=(2b+1)(2c+1) \]となる正の整数 $b,c$ が存在する。右辺を展開すると $4bc+2(b+c)+1$ だから $2(b+c)$ は $4$ の倍数である必要があるので、 $b+c$ は偶数である。なので、 $2d=b+c$ を満たす整数 $d$ が存在する。ここで、 $4a=4bc+4d$ だから、 $a\gt d$ である。また、
\begin{eqnarray}
(2b+1)(2c+1) &=& 4a+1 \\[5pt]
(b+c+1)^2-(b-c)^2 &=& 4a+1 \\[5pt]
(b+c+1)^2-4a-1 &=& (b-c)^2 \\[5pt]
(2d+1)^2-4a-1 &=& (2d-2c)^2 \\[5pt]
4d^2+4d+1-4a-1 &=& 4(d-c)^2 \\[5pt]
d^2+d-a &=& (d-c)^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}である。 $a\gt d$ なので、 $n=a,d$ のとき $f_a(n)$ が平方数となるので、 $N_a\ne 1$ である。
以上から、(i) と (ii) は同値である。（答）
