東京大学 理系 2025年度 第1問 解説
問題編
問題
座標平面上の点 $\mathrm{A}(0,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$, $\mathrm{C}(1,1)$, $\mathrm{D}(1,0)$ を考える。実数 $0\lt t\lt 1$ に対して、線分 $\mathrm{AB,BC,CD}$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t, \mathrm{Q}_t, \mathrm{R}_t$ とし、線分 $\mathrm{P}_t\mathrm{Q}_t, \mathrm{Q}_t\mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t,\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t\mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする、また、点 $\mathrm{A}$ を $\mathrm{U}_0$、点 $\mathrm{D}$ を $\mathrm{U}_1$ とする。
(1) 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と、線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) $a$ を $0\lt a\lt 1$ を満たす実数とする。 $t$ が $0\leqq t\leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを、 $a$ の多項式の形で求めよ。
考え方
(1)は内分点の座標を繰り返し求めていくだけですが、似たような式がたくさん出てくるので計算間違いをしないようにしましょう。
(2)は媒介変数を使ったときの面積です。いきなり積分するのではなく、いくつか確認事項が必要です。
(3)は曲線の長さですが、あまり出てこないのでド忘れしてしまう人もいるかもしれません。なにげに、因数分解が難しくて最後まで行けないかもしれません。
解答編
問題
座標平面上の点 $\mathrm{A}(0,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$, $\mathrm{C}(1,1)$, $\mathrm{D}(1,0)$ を考える。実数 $0\lt t\lt 1$ に対して、線分 $\mathrm{AB,BC,CD}$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t, \mathrm{Q}_t, \mathrm{R}_t$ とし、線分 $\mathrm{P}_t\mathrm{Q}_t, \mathrm{Q}_t\mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t,\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t\mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする、また、点 $\mathrm{A}$ を $\mathrm{U}_0$、点 $\mathrm{D}$ を $\mathrm{U}_1$ とする。
(1) 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
解答
(1)
$0\lt t\lt 1$ のとき、 $\mathrm{P}_t(0,t)$, $\mathrm{Q}_t(t,1)$, $\mathrm{R}_t(1,1-t)$ なので、点 $\mathrm{S}_t$ の座標は
\begin{eqnarray}
& &
\left( t\cdot t+(1-t)\cdot 0,t\cdot 1+(1-t)\cdot t \right) \\[5pt]
&=&
\left( t^2, -t^2+2t \right) \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $\mathrm{T}_t$ の座標は
\begin{eqnarray}
& &
\left( t\cdot 1+(1-t)\cdot t,t\cdot (1-t)+(1-t)\cdot 1 \right) \\[5pt]
&=&
\left( -t^2+2t, -t^2+1 \right) \\[5pt]
\end{eqnarray}である。よって、 $\mathrm{U}_t$ の $x$ 座標は
\begin{eqnarray}
& &
t\cdot (-t^2+2t)+(1-t)\cdot t^2 \\[5pt]
&=&
-t^3+2t^2 +t^2-t^3 \\[5pt]
&=&
-2t^3+3t^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $y$ 座標は
\begin{eqnarray}
& &
t\cdot (-t^2+1)+(1-t)\cdot (-t^2+2t) \\[5pt]
&=&
-t^3+t-t^2+2t+t^3-2t^2 \\[5pt]
&=&
-3t^2+3t \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、$\mathrm{U}_t$ の座標は、\[ (-2t^3+3t^2, -3t^2+3t) \]である。これは $t=0,1$ のときも成り立つ。（答）
解答編 つづき
問題
(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と、線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
(2)
$\mathrm{U}_t$ の $x$ 座標を $t$ で微分すると\[ -6t^2+6t=-6t(t-1) \]なので、 $0\lt t\lt 1$ のとき正だから、 $x$ 座標は単調に増加する。また、 $y$ 座標は\[ -3t^2+3t=-3t(t-1) \]だから $0\leqq t\leqq 1$ のとき $0$ 以上である。これらから、点 $\mathrm{U}_t$ の描く曲線は自己交差せず、 $x$ 軸より下に行くこともないことがわかる。
よって、求める面積は
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 y dx \\[5pt]
&=&
\int_0^1 (-3t^2+3t) (-6t^2+6t) dt \\[5pt]
&=&
18 \int_0^1 (t^2-t) (t^2-t) dt \\[5pt]
&=&
18 \int_0^1 (t^4-2t^3+t^2) dt \\[5pt]
&=&
18 \left[ \frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\[5pt]
&=&
18 \left( \frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) \\[5pt]
&=&
18 \cdot \frac{6-15+10}{30} \\[5pt]
&=&
\frac{3}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められる。（答）
解答編 つづき
問題
(3) $a$ を $0\lt a\lt 1$ を満たす実数とする。 $t$ が $0\leqq t\leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを、 $a$ の多項式の形で求めよ。
解答
(3)
$x,y$ をそれぞれ $t$ で微分すると、 $-6t^2+6t$ と $-6t+3$ なので、曲線の長さは
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^a \sqrt{(-6t^2+6t)^2+(-6t+3)^2} dt \\[5pt]
&=&
3 \int_0^a \sqrt{(2t^2-2t)^2+(2t-1)^2} dt \\[5pt]
&=&
3 \int_0^a \sqrt{4t^2(t-1)^2+(4t^2-4t+1)} dt \\[5pt]
&=&
3 \int_0^a \sqrt{4t^2(t-1)^2+4t(t-1)+1} dt \\[5pt]
&=&
3 \int_0^a \sqrt{\{2t(t-1)+1\}^2} dt \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、 $0\leqq t\leqq 1$ のとき\[ 2t(t-1)+1=2t^2-2t+1=t^2+(t-1)^2 \]だから $0$ 以上なので、曲線の長さは
\begin{eqnarray}
& &
3 \int_0^a \sqrt{\{2t(t-1)+1\}^2} dt \\[5pt]
&=&
3 \int_0^a (2t^2-2t+1) dt \\[5pt]
&=&
3 \left[ \frac{2}{3}t^3-t^2+t \right]_0^a \\[5pt]
&=&
2a^3-3a^2+3a \\[5pt]
\end{eqnarray}と表すことができる。（答）
