東京大学 理系 2024年度 第6問 解説
問題編
問題
$2$ 以上の整数で、 $1$ とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)=x^3+10x^2+20x$ とする。 $f(n)$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。
(2) $a,b$ を整数の定数とし、 $g(x)=x^3+ax^2+bx$ とする。 $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は $3$ 個以下であることを示せ。
考え方
(2)は手がかりがなさ過ぎて、攻め方が難しいです。どういう組合せにすれば条件をしぼっていけるか、という方向で考えると、似た条件をペアにして考えていくのがいいでしょう。
解答編
問題
$2$ 以上の整数で、 $1$ とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)=x^3+10x^2+20x$ とする。 $f(n)$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。
解答
(1)
$f(x)=x(x^2+10x+20)$ なので、 $f(n)$ が素数となるのは、次の4通りのケースがありえて、このケース以外にはない。
・ $n=1$ で $n^2+10n+20$ が素数
・ $n=-1$ で $n^2+10n+20$ がある素数の $-1$ 倍
・ $n$ が素数で $n^2+10n+20=1$
・ $n$ がある素数の $-1$ 倍で $n^2+10n+20=-1$
以下、それぞれのケースを確かめる。
・ $n=1$ で $n^2+10n+20$ が素数
$n^2+10n+20=1+10+20=31$ なので、 $f(1)$ は素数だから、これは条件を満たす。
・ $n=-1$ で $n^2+10n+20$ がある素数の $-1$ 倍
$n^2+10n+20=1-10+20=11$ なので、 $f(-1)$ は素数ではないので、これは条件を満たさない。
・ $n$ が素数で $n^2+10n+20=1$
$x^2+10x+20=1$ は、 $x^2+10x+19=0$ と変形でき、これは整数解をもたないので、このケースで条件を満たすものはない。
・ $n$ がある素数の $-1$ 倍で $n^2+10n+20=-1$
$x^2+10x+20=-1$ は、 $x^2+10x+21=0$ と変形でき、 $(x+3)(x+7)=0$ だから、 $x=-3,-7$ である。 $n=-3,-7$ は、どちらも、ある素数の $-1$ 倍になので、 $f(-3),f(-7)$ は条件を満たす。
以上から、 $f(n)$ が素数となるような整数 $n$ は、 $n=1,-3,-7$ …（答）
解答編 つづき
問題
(2) $a,b$ を整数の定数とし、 $g(x)=x^3+ax^2+bx$ とする。 $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は $3$ 個以下であることを示せ。
解答
(2)
$g(x)=x(x^2+ax+b)$ なので、 $g(n)$ が素数となるのは、次の4通りのケースがありえて、このケース以外にはない。
・ $n=1$ で、 $n^2+an+b$ が素数
・ $n=-1$ で $n^2+an+b$ がある素数の $-1$ 倍
・ $n$ が素数で $n^2+an+b=1$
・ $n$ がある素数の $-1$ 倍で $n^2+an+b=-1$
なお、3つ目のケースと4つ目のケースは、該当する $n$ が最大で2個ありうる。
もし、相異なる素数 $p,q$ が、 $n=p$ のときに $n^2+an+b=1$ となり、 $n=-q$ のときに $n^2+an+b=-1$ になるとする（つまり、3つ目のケースと4つ目のケースが同時に起こるとする）。それぞれ、 $n$ に代入すると
\begin{eqnarray}
p^2+ap+b &=& 1 \\[5pt]
q^2-aq+b &=& -1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。辺々引くと
\begin{eqnarray}
(p-q)(p+q)+a(p+q) &=& 2 \\[5pt]
(p-q+a)(p+q) &=& 2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となるが、 $p+q$ は $2$ より大きいので、これをみたす素数 $p,q$ は存在しない。
よって、もし $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ が $4$ 個以上あるとすると、上の4つのケースのうち
・1つ目、2つ目と、3つ目が2つ
・1つ目、2つ目と、4つ目が2つ
のどちらかが起こっていないといけない。
1つ目のケースより、 $1+a+b$ は素数であり、2つ目のケースより $-(1-a+b)=a-b-1$ も素数である。よって、和は正だから $a\gt 0$ がわかる。
3つ目を満たす素数が2つあるとする。つまり、相異なる素数 $p,q$ が、 $n=p,q$ のときに $n^2+an+b=1$ を満たすとする。代入すると
\begin{eqnarray}
p^2+ap+b=1 \\[5pt]
q^2+aq+b=1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。辺々引くと
\begin{eqnarray}
(p-q)(p+q)+a(p-q) &=& 0 \\[5pt]
(p-q)(p+q+a) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $p,q,a$ は正で、 $p\ne q$ なので、これを満たす $p,q$ は存在しない。よって、「1つ目、2つ目と、3つ目が2つ」のケースは起こらない。
4つ目を満たす素数が2つあるとする。つまり、相異なる素数 $p,q$ が、 $n=-p,-q$ のときに $n^2+an+b=-1$ を満たすとする。代入すると
\begin{eqnarray}
p^2-ap+b=-1 \\[5pt]
q^2-aq+b=-1 \\[5pt]
\end{eqnarray}を満たすとする。このとき、辺々引くと
\begin{eqnarray}
(p-q)(p+q)-a(p-q) &=& 0 \\[5pt]
(p-q)(p+q-a) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $p\ne q$ より、 $a=p+q$ となる。また、
\begin{eqnarray}
p^2-ap+b &=& -1 \\[5pt]
p^2-(p+q)p+b &=& -1 \\[5pt]
b &=& pq-1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。2つ目のケースより、 $a-b-1$ は素数でないといけないが
\begin{eqnarray}
a-b-1
&=&
(p+q)-(pq-1)-1 \\[5pt]
&=&
-pq+p+q \\[5pt]
&=&
-pq+p+q-1+1 \\[5pt]
&=&
-(p-1)(q-1)+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、 $p,q$ は $2$ 以上だから\[ a-b-1=-(p-1)(q-1)+1\leqq 0 \]なので、素数とはならない。よって、「1つ目、2つ目と、4つ目が2つ」のケースは起こらない。
以上から、 $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は $3$ 個以下である。
（終）
