東京大学 理系 2024年度 第1問 解説
問題編
問題
座標空間内の点 $\mathrm{A}(0,-1,1)$ をとる。 $xy$ 平面上の点 $\mathrm{P}$ が次の条件(i), (ii),(iii) をすべて満たすとする。
(i) $\mathrm{P}$ は原点 $\mathrm{O}$ と異なる。
(ii) $\angle\mathrm{AOP}\geqq \dfrac{2}{3}\pi$
(iii) $\angle\mathrm{OAP}\leqq \dfrac{1}{6}\pi$
$\mathrm{P}$ がとりうる範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。
考え方
空間で角度が絡んでいる問題なので、使える道具は限られてきます。計算はそれほど大変ではなく、出てくる結果も複雑なものではないので、落ち着いて計算しましょう。
解答編
問題
座標空間内の点 $\mathrm{A}(0,-1,1)$ をとる。 $xy$ 平面上の点 $\mathrm{P}$ が次の条件(i), (ii),(iii) をすべて満たすとする。
(i) $\mathrm{P}$ は原点 $\mathrm{O}$ と異なる。
(ii) $\angle\mathrm{AOP}\geqq \dfrac{2}{3}\pi$
(iii) $\angle\mathrm{OAP}\leqq \dfrac{1}{6}\pi$
$\mathrm{P}$ がとりうる範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。
解答
$\mathrm{P}$ の座標を $(x,y,0)$ とおく。条件(i) より、 $(x,y)\ne(0,0)$ である。
\begin{eqnarray} \cos\angle\mathrm{AOP} &=& \frac{ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} }{ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| |\overrightarrow{\mathrm{OP}}| } \\[5pt] &=& \frac{(0,-1,1)\cdot(x,y,0)}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}} \\[5pt] &=& -\frac{y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、条件(ii) は次と同値である。 \begin{eqnarray} -\frac{y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}} & \leqq & \cos\frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2} \\[5pt] \sqrt{2} y & \geqq & \sqrt{x^2+y^2} \\[5pt] \end{eqnarray}これが成り立つとき $y\geqq 0$ なので、これは $y\geqq 0$ かつ $2y^2\geqq x^2+y^2$ と同値である。2つ目の式は $(x+y)(x-y)\leqq 0$ と変形できるので、この領域は次の図の青色の部分である（境界線上の点を含む）。
以下では、 $\mathrm{P}$ は上の領域内（ただし、原点を除く）にあるとする。
\begin{eqnarray} \cos\angle\mathrm{OAP} &=& \frac{ \overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} }{ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}| |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| } \\[5pt] &=& \frac{ (0,1,-1)\cdot(x,y+1,-1) }{ \sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1)^2+1} } \\[5pt] &=& \frac{y+1+1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1)^2+1}} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、条件(ii) は次と同値である。 \begin{eqnarray} \frac{y+2}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1)^2+1}} & \geqq & \cos\frac{1}{6}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2} \\[5pt] \sqrt{2} (y+2) & \geqq & \sqrt{3}\sqrt{x^2+(y+1)^2+1} \\[5pt] \end{eqnarray}(iii)が成り立つとき、 $y\geqq 0$ より両辺は正なので、これは次と同値である。 \begin{eqnarray} 2 (y+2)^2 & \geqq & 3\{x^2+(y+1)^2+1\} \\[5pt] 2(y^2+4y+4) & \geqq & 3(x^2+y^2+2y+1+1) \\[5pt] 2y^2+8y+8 & \geqq & 3x^2+3y^2+6y+6 \\[5pt] 8 & \geqq & 3x^2+y^2-2y+6 \\[5pt] 3 & \geqq & 3x^2+(y-1)^2 \\[5pt] \end{eqnarray}最後の式は、楕円 $3x^2+(y-1)^2=3$ の内側を表している。以上より、 $\mathrm{P}$ がとりうる範囲は、次の図の色のついた部分。ただし、境界線上の点は原点以外の点をすべて含む。
（答）
