東京大学 文系 2026年度 第4問 解説
問題編
問題
$k$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。 $C$ 上の2点 $\mathrm{P,Q}$ に対する以下の条件(＊) を考える。
条件(＊) 原点 $\mathrm{O}$, 点 $\mathrm{P}$, 点 $\mathrm{Q}$ は相異なり、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。
ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。
(1) $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{6}$ とする。 $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を $\tan\theta$ を用いて表せ。
(2) 条件(＊) を満たす $\mathrm{P,Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。
(3) $k$ が(1)で定まる範囲にあるとする。 $\mathrm{P,Q}$ が条件(＊) を満たすように動くとき、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは $S=0$ とする。 $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。
考え方
(2)は、接線の傾きだけを考えればいいので、傾きだけを抜き出して考えましょう。
(3)は接線同士の交点を結んで三角形を作って、その面積を考えるので、接線の方程式や交点の座標なども必要になってきます。できる限り計算を減らすようにしないと、式がぐちゃぐちゃになってくるので気を付けましょう。なお、 $\mathrm{P,Q}$ が動くと言ってますが、実際にはほとんど動きません。条件がきつすぎるので、該当する点は少ししかありません。
なお、(2)(3)は、東京大学 理系 2026年度 第4問 解説の(1)(2)と同じ問題ですので、そちらをご覧ください。
解答編
問題
$k$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。 $C$ 上の2点 $\mathrm{P,Q}$ に対する以下の条件(＊) を考える。
条件(＊) 原点 $\mathrm{O}$, 点 $\mathrm{P}$, 点 $\mathrm{Q}$ は相異なり、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。
ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。
(1) $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{6}$ とする。 $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を $\tan\theta$ を用いて表せ。
解答
(1)
加法定理より
\begin{eqnarray}
\tan\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) &=& \dfrac{\tan\theta+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan\theta} \\[5pt]
\end{eqnarray}である。…（答）
解答編 つづき
問題
(2) 条件(＊) を満たす $\mathrm{P,Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。
(3) $k$ が(1)で定まる範囲にあるとする。 $\mathrm{P,Q}$ が条件(＊) を満たすように動くとき、 $C$ の $\mathrm{O,P,Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは $S=0$ とする。 $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。
解答
(2)(3)は、東京大学 理系 2026年度 第4問 解説の(1)(2)と同じ問題ですので、そちらをご覧ください。
