東京大学 文系 2026年度 第1問 解説
問題編
問題
正の実数 $k$ および $\alpha\lt\beta$ となる実数 $\alpha,\beta$ が次の条件を満たすように動く。
条件： 座標平面上の放物線 $C: y=k(x-\alpha)(\beta-x)$ の頂点は $(-3,1)$ であり、 $C$ は $y$ 軸と $-2\leqq y\leqq 0$ の範囲で交わる。
このとき、 $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ の取りうる値の範囲を求めよ。
考え方
条件が厳しいので、放物線がどの範囲を動くかは特定しやすいです。ただ、ちょっと説明は面倒です。
$\dfrac{1}{6}$ 公式を使う形になっていますが、使わなかったとしても、めちゃくちゃ計算が大変になる、というわけではありません。
解答編
問題
正の実数 $k$ および $\alpha\lt\beta$ となる実数 $\alpha,\beta$ が次の条件を満たすように動く。
条件： 座標平面上の放物線 $C: y=k(x-\alpha)(\beta-x)$ の頂点は $(-3,1)$ であり、 $C$ は $y$ 軸と $-2\leqq y\leqq 0$ の範囲で交わる。
このとき、 $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ の取りうる値の範囲を求めよ。
解答
頂点が $(-3,1)$ で、 $x$ 軸と $(\alpha,0)$, $(\beta,0)$ の2点で交わることから、 $y$ 軸との交点の $y$ 座標が $-2$ から $0$ になるように $k$ を変化させると、 $(\beta,0)$ は右に移動していく。頂点を共有する2つの異なる放物線は頂点以外に共有点を持たないから、放物線と $x$ 軸で囲まれる図形は、前の図形を含みながら広がっていくので、 $S$ は連続的に増加していく。
よって、 $y$ 軸との交点の $y$ 座標が $-2$ のときと $0$ のときの $S$ の値を考えればよい。
$y$ 軸との交点の $y$ 座標が $0$ のとき、 $\alpha=-6,\beta=0$ なので、 $(-3,1)$ を通るという条件より
\begin{eqnarray}
y &=& k(x-\alpha)(\beta-x) \\[5pt]
1 &=& k(-3+6)(0+3) \\[5pt]
k &=& \frac{1}{9} \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、このときの $S$ は
\begin{eqnarray}
& &
\int_\alpha^\beta \frac{1}{9}(x-\alpha)(\beta-x) dx \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{9} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{9} \cdot\frac{-(\beta-\alpha)^3}{6} \\[5pt]
&=&
\frac{6^3}{9\cdot 6} \\[5pt]
&=&
4 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
$y$ 軸との交点の $y$ 座標が $-2$ のとき、頂点の座標から $C$ は $y=a(x+3)^2+1$ と書ける。これが $(0,-2)$ も通ることから
\begin{eqnarray}
-2 &=& 9a +1 \\[5pt]
a &=& -\frac{1}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。係数比較をすると、 $k=\dfrac{1}{3}$ であることがわかる。また、
\begin{eqnarray}
& &
-\frac{1}{3}(x+3)^2+1 \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{3}(x^2+6x+9-3) \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{3}(x^2+6x+6) \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $\beta=-3+\sqrt{9-6}=-3+\sqrt{3}$ で $\alpha=-3-\sqrt{3}$ となるので、このときの $S$ は
\begin{eqnarray}
& &
\int_\alpha^\beta \frac{1}{3}(x-\alpha)(\beta-x) dx \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{3} \cdot\frac{-(\beta-\alpha)^3}{6} \\[5pt]
&=&
\frac{(2\sqrt{3})^3}{3\cdot 6} \\[5pt]
&=&
\frac{4\sqrt{3}}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
以上から、 $\dfrac{4}{3}\sqrt{3} \leqq S \leqq 4$ …（答）
