共通テスト数学II・数学B・数学C 2025年度第7問解説

🕒 2025/01/20

【第4問～第7問から3問選択】

（問題文は後日更新します）

解説

\begin{eqnarray} \gamma-\alpha &=& (7+10i)-(3+2i) \\[5pt] &=& 4+8i \\[5pt] \\ \beta-\alpha &=& 7-(3+2i) \\[5pt] &=& 4-2i \\[5pt] \end{eqnarray}なので \begin{eqnarray} \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} &=& \frac{4+8i}{4-2i} \\[5pt] &=& \frac{(4+8i)(4+2i)}{4^2+2^2} \\[5pt] &=& \frac{16-16+i(32+8)}{20} \\[5pt] &=& 2i \\[5pt] \end{eqnarray}です。偏角は $\dfrac{\pi}{2}$ です。

解答

アイウエ：4842
オ：3
カ：4

解説

(2) $w$ の偏角が $\dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{3}{2}\pi$ のとき、 $w$ は純虚数なので、 $\bar{w}=-w$ だから、\[ w+\bar{w}=0 \]となります。逆に、 $w\ne 0$ のときに $w+\bar{w}=0$ ならば、 $w$ は純虚数であり、直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{AC}$ が垂直に交わります。

解答

キク：20

解説

(3)(i)

\begin{eqnarray} \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} &=& \frac{\frac{4}{z}-z}{2-z} \\[5pt] &=& \frac{4-z^2}{z(2-z)} \\[5pt] &=& \frac{(2+z)(2-z)}{z(2-z)} \\[5pt] &=& 1+\frac{2}{z} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、(2)で見たように、直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{AC}$ が垂直に交わるための必要十分条件は \begin{eqnarray} \left(1+\frac{2}{z}\right)+\overline{\left(1+\frac{2}{z}\right)} &=& 0 \\[5pt] 2+\frac{2}{z}+\frac{2}{\bar{z}} &=& 0 \\[5pt] z\bar{z}+\bar{z}+z &=& 0 \\[5pt] (z+1)\overline{(z+1)} &=& 1 \\[5pt] |z+1| &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。問題文の最初にあるように、 $z$ は $0,2,-2$ ではないので、点 $z$ 全体を図示すると、 $-1$ を中心とする半径 $1$ の円のうち、 $0,-2$ を除いたもの、となります。選択肢の中では、0 となります。

ちなみに、 $z\ne 0$ という条件は、 $\gamma$ を定義するため、 $z\ne 2$ という条件は $\alpha\ne\beta$ のため、 $z\ne -2$ は $\alpha\ne\gamma$ とするためです（2点が一致すると、直線がひけないためです）。

解答

ケ：6
コ：0

解説

(3)(ii)

$-1$ 倍すると、原点を中心に 180度回転することになります。つまり、三角形 $\mathrm{A'B'C'}$ は、三角形 $\mathrm{ABC}$ を回転したものだから合同なので、直線 $\mathrm{A'B'}$ と直線 $\mathrm{A'C'}$ が垂直に交わることと直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{AC}$ が垂直に交わることは同値です。つまり、この場合も、$z$ を図示すると、(i)と同じ結果になります。