共通テスト 数学II・数学B・数学C 2025年度 第6問 解説
【第4問～第7問から3問選択】
問題編
問題
$\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。 $S$ 上に二つの点 $\mathrm{A}(1, 0, 0)$、$\mathrm{B}(a, \sqrt{1-a^2}, 0)$ をとる。ただし、$a$ は $-1 \lt a \lt 1$ を満たす実数とする。$S$ 上の点 $\mathrm{C}$ を、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
(1) 点 $\mathrm{C}$ の座標を $(x, y, z)$ とする。$\mathrm{C}$ が $S$ 上にあるとき
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2 = \myBox{ア} \]である。これをベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の成分を用いて表すと
\[ x^2 + y^2 + z^2 = \mybox{ア} \quad \cdots \text{①} \]となる。さらに、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形であるとする。$\triangle \mathrm{OAC}$ と $\triangle \mathrm{OAB}$ は、対応する三組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同である。したがって、対応する角の大きさも等しいから
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \dBox{イ} \]が成り立つ。これをベクトルの成分を用いて表すと
\[ x = \dBox{ウ} \quad \cdots \text{②} \]となる。同様に $\triangle \mathrm{OBC}$ と $\triangle \mathrm{OAB}$ も合同であるから
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \dbox{イ} \]が成り立ち、これをベクトルの成分を用いて表すと
\[ \dBox{エ} x + \dBox{オ} y = \dbox{ウ} \quad \cdots \text{③} \]となる。
逆に、実数 $x, y, z$ が ①、②、③ を満たすとき、$\mathrm{C}(x, y, z)$ は $S$ 上の点であり、$\triangle \mathrm{ABC}$ は正三角形になっていることがわかる。$\dbox{イ}$ の解答群
0: $0$
1: $1$
2: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$
4: $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
5: $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\dbox{ウ}$ ～ $\dbox{オ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $a$
1: $(1+a)$
2: $(1-a)$
3: $a^2$
4: $(1-a^2)$
5: $\sqrt{1-a^2}$(2) $a$ に具体的な値を代入して、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるかどうかを調べよう。
(i) $a = \dfrac{3}{5}$ のとき、② と ③ を満たす実数 $x, y$ は
\[ x = \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}} , \quad y = \dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}} \]である。この $x, y$ に対して、① を満たす実数 $z$ は $\dBox{サ}$ 。したがって、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は $\dBox{サ}$ 。(ii) $a = -\dfrac{3}{5}$ のときも調べよう。(i) と同様に考えると、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は $\dBox{シ}$ ことがわかる。
$\dbox{サ},$ $\dbox{シ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: ない
1: ちょうど一つある
2: ちょうど二つある
3: ちょうど三つある
4: ちょうど四つある
5: 無限に多くある(3) $\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるための、$a$ に関する条件を見つけよう。
実数 $x, y, z$ は、①、②、③ を満たすとする。② と ③ から
\[ x = \dbox{ウ} , \quad y = \dfrac{\dbox{ウ}(1-\dbox{エ})}{\dbox{オ}} \]である。このとき、① から
\[ z^2 = \mybox{ア} - x^2 - y^2 = \dfrac{\dBox{ス}}{1+a} \]となる。さらに、$z^2 \geqq 0, 1+a \gt 0$ であるから $\dbox{ス}$ $\geqq 0$ である。逆に、$\dbox{ス} \geqq 0$ のとき、①、②、③ を満たす実数 $x, y, z$ があることがわかる。
以上のことから、$\dBox{セ}$ は、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるための必要十分条件である。
$\dbox{ス}$ の解答群
0: $1 - 2a$
1: $(1-a)^2$
2: $(1+2a)^2$
3: $(1+2a)(1-a)$
4: $(1-2a)(1-a)$
5: $(1-2a^2)(1+2a)$
6: $(1+2a^2)(1-a)$
7: $(1-2a^2)(1-a)$$\dbox{セ}$ の解答群
0: $-1 \lt a \lt 1$1: $-1 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}$
2: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq a \leqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3: $-\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}$
4: $-\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
5: $\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
6: $-1 \lt a \leqq -\dfrac{1}{2}$ または $\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
7: $-1 \lt a \leqq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ または $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq a \lt 1$
考え方
冒頭の図から、「空間ベクトルの話かぁ」と思った人もいるかもしれません。ただ、ベクトルの話は、(1)だけです。(2)と(3)は、(1)でえられた式を使って考えるだけです。(1)の計算もベクトルの計算は少ししか出てきません。これでベクトルの問題といえるのか、謎です。
【第4問～第7問から3問選択】
解答編
問題
$\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。 $S$ 上に二つの点 $\mathrm{A}(1, 0, 0)$、$\mathrm{B}(a, \sqrt{1-a^2}, 0)$ をとる。ただし、$a$ は $-1 \lt a \lt 1$ を満たす実数とする。$S$ 上の点 $\mathrm{C}$ を、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
(1) 点 $\mathrm{C}$ の座標を $(x, y, z)$ とする。$\mathrm{C}$ が $S$ 上にあるとき
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2 = \myBox{ア} \]である。これをベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の成分を用いて表すと
\[ x^2 + y^2 + z^2 = \mybox{ア} \quad \cdots \text{①} \]となる。さらに、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形であるとする。$\triangle \mathrm{OAC}$ と $\triangle \mathrm{OAB}$ は、対応する三組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同である。したがって、対応する角の大きさも等しいから
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \dBox{イ} \]が成り立つ。これをベクトルの成分を用いて表すと
\[ x = \dBox{ウ} \quad \cdots \text{②} \]となる。同様に $\triangle \mathrm{OBC}$ と $\triangle \mathrm{OAB}$ も合同であるから
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \dbox{イ} \]が成り立ち、これをベクトルの成分を用いて表すと
\[ \dBox{エ} x + \dBox{オ} y = \dbox{ウ} \quad \cdots \text{③} \]となる。
逆に、実数 $x, y, z$ が ①、②、③ を満たすとき、$\mathrm{C}(x, y, z)$ は $S$ 上の点であり、$\triangle \mathrm{ABC}$ は正三角形になっていることがわかる。$\dbox{イ}$ の解答群
0: $0$
1: $1$
2: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$
4: $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
5: $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\dbox{ウ}$ ～ $\dbox{オ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $a$
1: $(1+a)$
2: $(1-a)$
3: $a^2$
4: $(1-a^2)$
5: $\sqrt{1-a^2}$
解説
(1)
$\mathrm{C}$ が $S$ 上にあるとき、\[ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=1 \]が成り立ちます。成分で書くと\[ x^2+y^2+z^2=1 \]が成り立ちます。
$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OAB}$ は、3辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する角の大きさが等しいことから\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]が成り立ちます。成分で書くと
\begin{eqnarray}
(1,0,0)\cdot(x,y,z) &=& (1,0,0)\cdot (a,\sqrt{1-a^2},0) \\[5pt]
x &=& a \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
$\triangle\mathrm{OBC}$ と $\triangle\mathrm{OAB}$ は、3辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する角の大きさが等しいことから\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]が成り立ちます。成分で書くと
\begin{eqnarray}
(a,\sqrt{1-a^2},0)\cdot(x,y,z) &=& (1,0,0)\cdot (a,\sqrt{1-a^2},0) \\[5pt]
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ア：1
イ：4
ウエオ：005
解答編 つづき
問題
(2) $a$ に具体的な値を代入して、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるかどうかを調べよう。
(i) $a = \dfrac{3}{5}$ のとき、② と ③ を満たす実数 $x, y$ は
\[ x = \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}} , \quad y = \dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}} \]である。この $x, y$ に対して、① を満たす実数 $z$ は $\dBox{サ}$ 。したがって、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は $\dBox{サ}$ 。
解説
(2)(i)
$a=\frac{3}{5}$ のとき、 $x=a=\frac{3}{5}$ となります。また、 ③ に代入すると
\begin{eqnarray}
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}+\sqrt{1-\frac{3^2}{5^2}}y &=& \frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{4}{5}y &=& \frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{4}{5}y &=& \frac{3}{5}-\frac{9}{25}=\frac{6}{25} \\[5pt]
y &=& \frac{6}{25}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{10} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
\begin{eqnarray}
x^2+y^2+z^2 &=& 1 \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{9}{100}+z^2 &=& 1 \\[5pt]
z^2 &=& 1-\frac{9}{25}-\frac{9}{100} \\[5pt]
\end{eqnarray}で、最後の式の右辺は正なので、 $z$ は2つあります。なので、 $\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となるような $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は2つあります。
解答
カキクケコ：35310
サ：2
解答編 つづき
問題
(ii) $a = -\dfrac{3}{5}$ のときも調べよう。(i) と同様に考えると、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は $\dBox{シ}$ ことがわかる。
$\dbox{サ},$ $\dbox{シ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: ない
1: ちょうど一つある
2: ちょうど二つある
3: ちょうど三つある
4: ちょうど四つある
5: 無限に多くある
解説
(2)(ii)
$x=a=-\frac{3}{5}$ です。③ に代入すると
\begin{eqnarray}
\frac{9}{25}+\sqrt{1-\frac{9}{25}}y &=& -\frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{4}{5}y &=& -\frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{4}{5}y &=& -\frac{3}{5}-\frac{9}{25}=-\frac{24}{25} \\[5pt]
y &=& -\frac{24}{25}\times\frac{5}{4}=-\frac{6}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、 $y^2\gt 1$ となってしまうので、 $x^2+y^2+z^2=1$ を満たす $z$ はなく、条件を満たす点 $\mathrm{C}$ も存在しないことがわかります。
解答
シ：0
解答編 つづき
問題
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるための、$a$ に関する条件を見つけよう。
実数 $x, y, z$ は、①、②、③ を満たすとする。② と ③ から
\[ x = \dbox{ウ} , \quad y = \dfrac{\dbox{ウ}(1-\dbox{エ})}{\dbox{オ}} \]である。このとき、① から
\[ z^2 = \mybox{ア} - x^2 - y^2 = \dfrac{\dBox{ス}}{1+a} \]となる。さらに、$z^2 \geqq 0, 1+a \gt 0$ であるから $\dbox{ス}$ $\geqq 0$ である。逆に、$\dbox{ス} \geqq 0$ のとき、①、②、③ を満たす実数 $x, y, z$ があることがわかる。
以上のことから、$\dBox{セ}$ は、$\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となる $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ があるための必要十分条件である。
$\dbox{ス}$ の解答群
0: $1 - 2a$
1: $(1-a)^2$
2: $(1+2a)^2$
3: $(1+2a)(1-a)$
4: $(1-2a)(1-a)$
5: $(1-2a^2)(1+2a)$
6: $(1+2a^2)(1-a)$
7: $(1-2a^2)(1-a)$$\dbox{セ}$ の解答群
0: $-1 \lt a \lt 1$1: $-1 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}$
2: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq a \leqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3: $-\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}$
4: $-\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
5: $\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
6: $-1 \lt a \leqq -\dfrac{1}{2}$ または $\dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1$
7: $-1 \lt a \leqq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ または $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq a \lt 1$
解説
(3)
まず、 $x=a$ です。また、 ③ より、
\begin{eqnarray}
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
a^2+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
y &=& \frac{a-a^2}{\sqrt{1-a^2}} \\[5pt]
&=& \frac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
①より
\begin{eqnarray}
z^2
&=&
1-x^2-y^2 \\[5pt]
&=&
1-a^2-\left(\frac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}}\right)^2 \\[5pt]
&=&
1-a^2-\frac{a^2(1-a)^2}{1-a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a^2)^2-a^2(1-a)^2}{1-a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)^2(1+a)^2-a^2(1-a)^2}{(1-a)(1+a)} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)(1+a)^2-a^2(1-a)}{1+a} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)\{(1+a)^2-a^2\}}{1+a} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)(1+2a)}{1+a} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $a$ は $-1\lt a\lt 1$ の範囲で考えるので、 $1-a$ と $1+a$ はつねに正です。なので、 $1+2a$ が $0$ 以上ならよく、逆にこのとき $x,y,z$ が存在することがわかります。
よって、求める条件は、 $-\dfrac{1}{2}\leqq a\lt 1$ だとわかります。
解答
ス：3
セ：4
