共通テスト 数学II・数学B・数学C 2025年度 第6問 解説
【第4問～第7問から3問選択】
（問題文は後日更新します）
解説
(1)
$\mathrm{C}$ が $S$ 上にあるとき、\[ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=1 \]が成り立ちます。成分で書くと\[ x^2+y^2+z^2=1 \]が成り立ちます。
$\triangle\mathrm{OAC}$ も $\triangle\mathrm{OAB}$ も、1辺が $1$ の正三角形なので合同です。対応する角の大きさが等しいことから\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]が成り立ちます。成分で書くと
\begin{eqnarray}
(1,0,0)\cdot(x,y,z) &=& (1,0,0)\cdot (a,\sqrt{1-a^2},0) \\[5pt]
x &=& a \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
$\triangle\mathrm{OBC}$ も $\triangle\mathrm{OAB}$ も、1辺が $1$ の正三角形なので合同です。対応する角の大きさが等しいことから\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]が成り立ちます。成分で書くと
\begin{eqnarray}
(a,\sqrt{1-a^2},0)\cdot(x,y,z) &=& (1,0,0)\cdot (a,\sqrt{1-a^2},0) \\[5pt]
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ア：1
イ：4
ウエオ：005
解説
(2)(i)
$a=\frac{3}{5}$ のとき、 $x=a=\frac{3}{5}$ となります。また、 ③ に代入すると
\begin{eqnarray}
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}+\sqrt{1-\frac{3^2}{5^2}}y &=& \frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{4}{5}y &=& \frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{4}{5}y &=& \frac{3}{5}-\frac{9}{25}=\frac{6}{25} \\[5pt]
y &=& \frac{6}{25}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{10} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
\begin{eqnarray}
x^2+y^2+z^2 &=& 1 \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{9}{100}+z^2 &=& 1 \\[5pt]
z^2 &=& 1-\frac{9}{25}-\frac{9}{100} \\[5pt]
\end{eqnarray}で、最後の式の右辺は正なので、 $z$ は2つあります。なので、 $\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形となるような $S$ 上の点 $\mathrm{C}$ は2つあります。
解答
カキクケコ：35310
サ：2
解説
(2)(ii)
$x=a=-\frac{3}{5}$ です。③ に代入すると
\begin{eqnarray}
\frac{9}{25}+\sqrt{1-\frac{9}{25}}y &=& -\frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{9}{25}+\frac{4}{5}y &=& -\frac{3}{5} \\[5pt]
\frac{4}{5}y &=& -\frac{3}{5}-\frac{9}{25}=-\frac{24}{25} \\[5pt]
y &=& -\frac{24}{25}\times\frac{5}{4}=-\frac{6}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、 $y^2\gt 1$ となってしまうので、 $x^2+y^2+z^2=1$ を満たす $z$ はなく、条件を満たす点 $\mathrm{C}$ も存在しないことがわかります。
解答
シ：0
解説
(3)
まず、 $x=a$ です。また、 ③ より、
\begin{eqnarray}
ax+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
a^2+\sqrt{1-a^2}y &=& a \\[5pt]
y &=& \frac{a-a^2}{\sqrt{1-a^2}} \\[5pt]
&=& \frac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
①より
\begin{eqnarray}
z^2
&=&
1-x^2-y^2 \\[5pt]
&=&
1-a^2-\left(\frac{a(1-a)}{\sqrt{1-a^2}}\right)^2 \\[5pt]
&=&
1-a^2-\frac{a^2(1-a)^2}{1-a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a^2)^2-a^2(1-a)^2}{1-a^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)^2(1+a)^2-a^2(1-a)^2}{(1-a)(1+a)} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)(1+a)^2-a^2(1-a)}{1+a} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)\{(1+a)^2-a^2\}}{1+a} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-a)(1+2a)}{1+a} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $a$ は $-1\lt a\lt 1$ の範囲で考えるので、 $1-a$ と $1+a$ はつねに正です。なので、 $1+2a$ が $0$ 以上ならよく、逆にこのとき $x,y,z$ が存在することがわかります。
よって、求める条件は、 $-\dfrac{1}{2}\leqq a\lt 1$ だとわかります。
解答
ス：3
セ：4
