共通テスト 数学II・数学B・数学C 2025年度 第5問 解説

【第4問～第7問から3問選択】

問題編

問題

（正規分布表は省略しています）

　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31ページの正規分布表を用いてもよい。

　Q地域ではレモンを栽培しており、収穫されるレモンを重さによってサイズごとに分類している（表1）。過去に収穫されたレモンの重さは、平均が $110\,\text{g}$、標準偏差が $20\,\text{g}$ の正規分布に従うとする。

表１　レモンのサイズと重さの対応関係

サイズ	レモン1個の重さ
S	$80\,\text{g}$ 以上 $90\,\text{g}$ 未満
M	$90\,\text{g}$ 以上 $110\,\text{g}$ 未満
L	$110\,\text{g}$ 以上 $140\,\text{g}$ 未満
2L	$140\,\text{g}$ 以上 $170\,\text{g}$ 未満
その他	$80\,\text{g}$ 未満または $170\,\text{g}$ 以上

(1) Q地域で今年収穫されるレモンの重さ（単位は $\text{g}$）は、過去に収穫されたレモンの重さと同じ分布に従うとする。すなわち、今年収穫される1個のレモンの重さを確率変数 $X$ で表すと、$X$ は正規分布 $N(110, 20^2)$ に従うとする。よって、今年収穫されるレモンから無作為にレモンを1個抽出するとき、そのレモンがLサイズである確率は、$P(110 \leqq X \lt 140) = P(110 \leqq X \leqq 140)$ であることに注意すると、$0.\myBox{アイウエ}$ である。

　いま、Q地域で今年収穫されるレモンが20万個であるとし、その中のLサイズのレモンの個数を確率変数 $Y$ で表すと、$Y$ は二項分布に従い、$Y$ の平均（期待値）は $\dBox{オ}$ となる。

$\dbox{オ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
　0: $13100$
　1: $13360$
　2: $31740$
　3: $68260$
　4: $86640$
　5: $100000$
　6: $168260$
　7: $186640$

(2) 太郎さんと花子さんは、Q地域で今年収穫されるレモンから何個かを抽出して、今年収穫されるレモンの重さの平均（母平均）を推定する方法について話している。

• 母平均に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にして推定したいね。
• 母標準偏差を過去と同じ $20\,\text{g}$ とすると、何個のレモンの重さを量ればいいかな。
• 信頼区間の式から、必要な標本の大きさを求めてみようよ。

　母平均に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にするために必要な標本の大きさを求める。いま、Q地域で今年収穫されるレモン全体を母集団とし、その重さの母平均を $m\,\text{g}$、母標準偏差を $\sigma\,\text{g}$ とする。この母集団から無作為に抽出した $n$ 個のレモンの重さを確率変数 $W_1, W_2, \cdots, W_n$ で表すと、標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、標本平均 $\overline{W} = \dfrac{1}{n}(W_1 + W_2 + \cdots + W_n)$ は近似的に正規分布 $N\left(m, \dBox{カ}\right)$ に従う。また、$m$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間を $A \leqq m \leqq B$ と表すと、信頼区間の幅は $B - A = \dfrac{\dBox{キ}}{\sqrt{n}}$ となる。
　したがって、母標準偏差を過去と同じ $\sigma = 20$ として、$n$ に関する不等式
\[ \dfrac{\dbox{キ}}{\sqrt{n}} \leqq 4 \quad \cdots \text{①} \]を満たす自然数 $n$ を求めればよい。① の両辺は正であるから、両辺を2乗して整理すると、$\left(\dbox{キ}\right)^2 \leqq 16n$ となる。この不等式を満たす最小の自然数 $n$ を $n_0$ とすると、$n_0 = \myBox{クケコ}$ である。ゆえに、$m$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にするために必要な標本の大きさ $n$ のうち、最小のものは $\mybox{クケコ}$ であることがわかる。

$\dbox{カ}$ の解答群
　0: $\sigma$

　1: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

　2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{n}$

　3: $\dfrac{\sigma}{n}$

　4: $\sigma^2$

　5: $\dfrac{\sigma^2}{\sqrt{n}}$

　6: $\dfrac{\sigma^2}{n}$

　7: $\dfrac{\sigma^2}{n^2}$

$\dbox{キ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
　0: $\sigma$
　1: $1.65\sigma$
　2: $1.96\sigma$
　3: $2\sigma$
　4: $3.3\sigma$
　5: $3.92\sigma$

(3) 太郎さんと花子さんは、Q地域で今年収穫されるレモンの重さについて話している。

• 今年のレモンの重さは、他の地域では例年よりも軽そうだと聞いたよ。
• Q地域でも、過去の平均 $110\,\text{g}$ と比べて軽いのかな。
• 標本の大きさを $400$、母標準偏差を過去と同じ $20\,\text{g}$ として、仮説検定をしてみようよ。

　(2) の $m$ を用いて、Q地域で今年収穫されるレモンの重さの母平均 $m\,\text{g}$ が過去の平均 $110\,\text{g}$ より軽いといえるかを、有意水準 $5\,\%$ ($0.05$) で仮説検定を行い検証したい。ただし、標本の大きさは $400$、母標準偏差は過去と同じ $20\,\text{g}$ とする。ここで、統計的に検証したい仮説を「対立仮説」、対立仮説に反する仮定として設けた仮説を「帰無仮説」とする。このとき、帰無仮説は「$m = 110$」、対立仮説は「$\dBox{サ}$」である。これらの仮説に対して、有意水準 $5\,\%$ で帰無仮説が棄却（否定）されるかどうかを判断する。

　いま、帰無仮説が正しいと仮定する。標本の大きさ $400$ は十分に大きいので、(2) の標本平均 $\overline{W}$ は近似的に正規分布 $\dBox{シ}$ に従う。無作為抽出した $400$ 個のレモンの重さの平均が $108.2\,\text{g}$ となった。このとき、確率 $P(\overline{W} \leqq 108.2)$ は $0.\myBox{スセソタ}$ となる。この値をパーセント表示した値は有意水準 $5\,\%$ より $\dBox{チ}$ 。したがって、有意水準 $5\,\%$ で今年収穫されるレモンの重さの母平均は $110\,\text{g}$ より軽いと $\dBox{ツ}$ 。

$\dbox{サ}$ の解答群
　0: $m \lt 110$
　1: $m \leqq 110$
　2: $m = 110$
　3: $m \geqq 110$
　4: $m \gt 110$

$\dbox{シ}$ の解答群
　0: $N(108.2, 400)$
　1: $N(108.2, 20)$
　2: $N(108.2, 1)$
　3: $N(110, 400)$
　4: $N(110, 20)$
　5: $N(110, 1)$

$\dbox{チ}$ の解答群
　0: 小さいから、帰無仮説は棄却されない
　1: 小さいから、帰無仮説は棄却される
　2: 大きいから、帰無仮説は棄却されない
　3: 大きいから、帰無仮説は棄却される

$\dbox{ツ}$ の解答群
　0: 判断できる
　1: 判断できない

考え方

正規分布表を用いた確率の計算、期待値、信頼区間の計算など、過去問とほとんど同じような顔ぶれです。最後の仮設検定もオーソドックスな問題で練習していれば対応できるでしょう。

【第4問～第7問から3問選択】

解答編

問題

（正規分布表は省略しています）

　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31ページの正規分布表を用いてもよい。

　Q地域ではレモンを栽培しており、収穫されるレモンを重さによってサイズごとに分類している（表1）。過去に収穫されたレモンの重さは、平均が $110\,\text{g}$、標準偏差が $20\,\text{g}$ の正規分布に従うとする。

表１　レモンのサイズと重さの対応関係

サイズ	レモン1個の重さ
S	$80\,\text{g}$ 以上 $90\,\text{g}$ 未満
M	$90\,\text{g}$ 以上 $110\,\text{g}$ 未満
L	$110\,\text{g}$ 以上 $140\,\text{g}$ 未満
2L	$140\,\text{g}$ 以上 $170\,\text{g}$ 未満
その他	$80\,\text{g}$ 未満または $170\,\text{g}$ 以上

(1) Q地域で今年収穫されるレモンの重さ（単位は $\text{g}$）は、過去に収穫されたレモンの重さと同じ分布に従うとする。すなわち、今年収穫される1個のレモンの重さを確率変数 $X$ で表すと、$X$ は正規分布 $N(110, 20^2)$ に従うとする。よって、今年収穫されるレモンから無作為にレモンを1個抽出するとき、そのレモンがLサイズである確率は、$P(110 \leqq X \lt 140) = P(110 \leqq X \leqq 140)$ であることに注意すると、$0.\myBox{アイウエ}$ である。

　いま、Q地域で今年収穫されるレモンが20万個であるとし、その中のLサイズのレモンの個数を確率変数 $Y$ で表すと、$Y$ は二項分布に従い、$Y$ の平均（期待値）は $\dBox{オ}$ となる。

$\dbox{オ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
　0: $13100$
　1: $13360$
　2: $31740$
　3: $68260$
　4: $86640$
　5: $100000$
　6: $168260$
　7: $186640$

解説

(1)
$X$ は、正規分布 $N(110,20^2)$ に従うので、 $Z=\dfrac{X-110}{20}$ は標準正規分布に従います。 $X=110$ のとき、 $Z=0$ で、 $X=140$ のとき $Z=1.5$ なので、正規分布表を使うと
\begin{eqnarray} P(110\leqq X\lt 140) &=& P(110\leqq X\leqq 140) \\[5pt] &=& P(0\leqq Z\leqq 1.5) \\[5pt] &=& 0.4332 \end{eqnarray}とわかります。

これより、20万個のなかにあるLサイズの個数の期待値は\[ 200000\cdot 0.4332 = 20\cdot 4332=86640 \]となります。

解答

アイウエ：4332
オ：4

解答編　つづき

問題

(2) 太郎さんと花子さんは、Q地域で今年収穫されるレモンから何個かを抽出して、今年収穫されるレモンの重さの平均（母平均）を推定する方法について話している。

• 母平均に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にして推定したいね。
• 母標準偏差を過去と同じ $20\,\text{g}$ とすると、何個のレモンの重さを量ればいいかな。
• 信頼区間の式から、必要な標本の大きさを求めてみようよ。

　母平均に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にするために必要な標本の大きさを求める。いま、Q地域で今年収穫されるレモン全体を母集団とし、その重さの母平均を $m\,\text{g}$、母標準偏差を $\sigma\,\text{g}$ とする。この母集団から無作為に抽出した $n$ 個のレモンの重さを確率変数 $W_1, W_2, \cdots, W_n$ で表すと、標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、標本平均 $\overline{W} = \dfrac{1}{n}(W_1 + W_2 + \cdots + W_n)$ は近似的に正規分布 $N\left(m, \dBox{カ}\right)$ に従う。また、$m$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間を $A \leqq m \leqq B$ と表すと、信頼区間の幅は $B - A = \dfrac{\dBox{キ}}{\sqrt{n}}$ となる。
　したがって、母標準偏差を過去と同じ $\sigma = 20$ として、$n$ に関する不等式
\[ \dfrac{\dbox{キ}}{\sqrt{n}} \leqq 4 \quad \cdots \text{①} \]を満たす自然数 $n$ を求めればよい。① の両辺は正であるから、両辺を2乗して整理すると、$\left(\dbox{キ}\right)^2 \leqq 16n$ となる。この不等式を満たす最小の自然数 $n$ を $n_0$ とすると、$n_0 = \myBox{クケコ}$ である。ゆえに、$m$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間の幅を $4\,\text{g}$ 以下にするために必要な標本の大きさ $n$ のうち、最小のものは $\mybox{クケコ}$ であることがわかる。

$\dbox{カ}$ の解答群
　0: $\sigma$

　1: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

　2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{n}$

　3: $\dfrac{\sigma}{n}$

　4: $\sigma^2$

　5: $\dfrac{\sigma^2}{\sqrt{n}}$

　6: $\dfrac{\sigma^2}{n}$

　7: $\dfrac{\sigma^2}{n^2}$

$\dbox{キ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
　0: $\sigma$
　1: $1.65\sigma$
　2: $1.96\sigma$
　3: $2\sigma$
　4: $3.3\sigma$
　5: $3.92\sigma$

解説

(2)
母標準偏差が $\sigma$ なので、標本平均の標準偏差は $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ なので、標本平均は近似的に正規分布 $N\left(m,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従います。

正規分布表より、 $P(0\leqq Z\leqq z_0)=0.475$ となる点を見つけると $z_0=1.96$ です。よって、この場合の信頼区間の幅は、 $3.92$ だから、標準偏差を加味すると、 $m$ に対する信頼区間の幅は\[ \frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}} \]となります。

解答

カ：6
キ：5
クケコ：385

解答編　つづき

問題

(3) 太郎さんと花子さんは、Q地域で今年収穫されるレモンの重さについて話している。

• 今年のレモンの重さは、他の地域では例年よりも軽そうだと聞いたよ。
• Q地域でも、過去の平均 $110\,\text{g}$ と比べて軽いのかな。
• 標本の大きさを $400$、母標準偏差を過去と同じ $20\,\text{g}$ として、仮説検定をしてみようよ。

　(2) の $m$ を用いて、Q地域で今年収穫されるレモンの重さの母平均 $m\,\text{g}$ が過去の平均 $110\,\text{g}$ より軽いといえるかを、有意水準 $5\,\%$ ($0.05$) で仮説検定を行い検証したい。ただし、標本の大きさは $400$、母標準偏差は過去と同じ $20\,\text{g}$ とする。ここで、統計的に検証したい仮説を「対立仮説」、対立仮説に反する仮定として設けた仮説を「帰無仮説」とする。このとき、帰無仮説は「$m = 110$」、対立仮説は「$\dBox{サ}$」である。これらの仮説に対して、有意水準 $5\,\%$ で帰無仮説が棄却（否定）されるかどうかを判断する。

　いま、帰無仮説が正しいと仮定する。標本の大きさ $400$ は十分に大きいので、(2) の標本平均 $\overline{W}$ は近似的に正規分布 $\dBox{シ}$ に従う。無作為抽出した $400$ 個のレモンの重さの平均が $108.2\,\text{g}$ となった。このとき、確率 $P(\overline{W} \leqq 108.2)$ は $0.\myBox{スセソタ}$ となる。この値をパーセント表示した値は有意水準 $5\,\%$ より $\dBox{チ}$ 。したがって、有意水準 $5\,\%$ で今年収穫されるレモンの重さの母平均は $110\,\text{g}$ より軽いと $\dBox{ツ}$ 。

$\dbox{サ}$ の解答群
　0: $m \lt 110$
　1: $m \leqq 110$
　2: $m = 110$
　3: $m \geqq 110$
　4: $m \gt 110$

$\dbox{シ}$ の解答群
　0: $N(108.2, 400)$
　1: $N(108.2, 20)$
　2: $N(108.2, 1)$
　3: $N(110, 400)$
　4: $N(110, 20)$
　5: $N(110, 1)$

$\dbox{チ}$ の解答群
　0: 小さいから、帰無仮説は棄却されない
　1: 小さいから、帰無仮説は棄却される
　2: 大きいから、帰無仮説は棄却されない
　3: 大きいから、帰無仮説は棄却される

$\dbox{ツ}$ の解答群
　0: 判断できる
　1: 判断できない

解説

(3)
$m$ g が $110$ g より軽いといえるかを検証したいので、対立仮説は $m\lt 110$ となります。

帰無仮説「$m=110$」が正しいとすると、標本平均 $\bar{W}$ は正規分布 $N\left(110,\frac{\sigma^2}{400}\right)=N(110,1)$ に従うことがわかります。

$\bar{W}\leqq 108.2$ となる確率は、正規分布に従う確率変数 $Z$ が \[ Z\leqq \frac{108.2-110}{1} \]となる確率と等しいです。つまり、 $P(Z\leqq -1.8)$ です。正規分布表を使えば $P(0\leqq Z\leqq 1.8)=0.4641$ なので、\[ P(Z\leqq -1.8)=0.5-0.4641=0.0359 \]だとわかります。

これは有意水準 $5$ % より小さいので、帰無仮説は棄却され、今年のレモンの重さの母平均は $110$ g より軽いと判断できます。

解答

サ：0
シ：5
スセソタ：0359
チツ：10