共通テスト数学II・数学B・数学C 2025年度第3問解説

🕒 2025/01/20

【必答問題】

（問題文は後日更新します）

解説

(1) $F(x)=2x^3+3x^2$ を微分したものが $f(x)$ なので、\[ f(x)=6x^2+6x \]です。 $f(x)=6x(x+1)$ なので、 $F(x)=0$ となるのは、 $x=-1,0$ のときです。なので、増減表は次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline F'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline F(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}なので、 $F(x)$ は $x=-1$ のときに極大値をとることがわかります。

$G(x)$ を微分したものも $f(x)$ なので、\[ G(x)=2x^3+3x^2+C \]と書けます（$C$ は積分定数）。増減表は先ほどと同じようにして次のようになることがわかります。
\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline G'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline G(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}これより、 $x=0$ で極小値をとることがわかります。

問題文にある条件より、 $G(x)$ は $x=k$ で極大値 $0$ をとる、とあるので、 $x=-1$ を代入すると $0$ になることから
\begin{eqnarray} G(-1) &=& 0 \\[5pt] -2+3+C &=& 0 \\[5pt] C &=& -1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：66
ウエ：-1
オカ：23
キ：0
クケ：-1

解説

(2)(i)
$F(x)$ が $x=0$ で極小値をとるので、 $F'(0)=f(0)=0$ です。 $x=0$ の前後で、 $F'(x)=f(x)$ の符号は負から正にかわります（(1)の増減表も参考になります）。

$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるから、 $G'(k)=f(k)=0$ です。 $x=k$ の前後で、 $G'(x)=f(x)$ の符号は正から負にかわります。

つまり、 $x=0$ のところで谷のようになっていて、 $x=k$ のところで山のようになっています。これを満たすのは、選択肢の中では 0 か 3 です。 $F(x)$ の極小値が $0$ だと冒頭に書かれているので、極小値が $x$ 軸上にある 3 が $y=F(x)$ のグラフとなります。

解答

コサ：00
シス：01
セ：3

解説

(2)(ii)
$F(x)$ を微分したものが $f(x)$ だから、 $f(x)$ を積分すると $F(x)$ になります。ある定数 $a$ から $x$ まで積分すると\[ \int_a^x f(t)dt =F(x)-F(a) \]となります。なので、 $a$ は $F(a)=0$ となるように選べばよく、 $a=0$ とすればいいことがわかります。セのグラフのように $F(a)=0$ となる $a$ はもう一つありますが、これは $k$ より大きい値であり、選択肢の中に該当するものはありません。

$G(x)$ は $x=k$ で極大値をとるので、 $f(x)$ の符号は正から負に変わります。そのため、 $F(x)$ も $x=k$ で極大値をとることがわかります。このことから、$F(x)$ の極大値は $F(k)$ なので、\[ \int_0^k f(t) dt \]と表すことができます。

$f(0)=f(k)=0$ であり、増減を考えると、グラフはセようになるため、 $0\lt x\lt k$ の部分は $x$ 軸より上にあるので、この極大値は、 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積と等しいことがわかります。

$G(x)$ も $F(x)$ も微分すると同じ関数 $f(x)$ になるので、グラフの形は同じで、上下にずれているだけです。 $G(k)=0$ なので、セのグラフの選択肢でいうと、 0 に対応します。極大値の部分に着目すると、 $y=F(x)$ のグラフと $y=G(x)$ のグラフは、 $(k,F(k))$ と $(k,0)$ とが対応しているので、 $y=F(x)$ のグラフを $F(k)$ だけ下に移動したものが $y=G(x)$ のグラフとなっています。

極小値に着目すると、 $(0,0)$ が $(0,G(0))$ に移動しているため、 $G(x)$ の極小値は $-F(k)$ と等しいです。つまり、 $F(x)$ の極大値は、 $G(x)$ の極小値の $-1$ 倍だとわかります。