共通テスト 数学II・数学B・数学C 2025年度 第2問 解説
【必答問題】
問題編
問題
（常用対数表は省略しています）
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて12、13ページの常用対数表を用いてもよい。
学校の池でメダカを飼うことが決まり、メダカの飼育係になった花子さんは、水質を良くする効果がある水草 $\mathrm{A}$ を水面に浮かべることにした。一方で、水草 $\mathrm{A}$ が増えすぎてメダカに悪影響を与えることを心配した花子さんは、水草 $\mathrm{A}$ を定期的に除去することにし、その作業の計画を立てるために次の基本方針を定めた。
基本方針
・ 水草 $\mathrm{A}$ の量を水草 $\mathrm{A}$ が池の水面を覆う面積の割合（%）で測ることにし、この量をもとに作業計画を立てる。
・ 作業は正午に行う。(1) 水草 $\mathrm{A}$ の増え方を知るために、観測を行った。次の表は、観測を開始した日を0日目として、0日目、3日目、6日目、9日目の正午に観測した水草 $\mathrm{A}$ の量を表したものである。
観測日（日目） 0 3 6 9 水草 $\mathrm{A}$ の量（%） 17.2 22.7 30.0 39.6 水草 $\mathrm{A}$ の量が3日ごとに何倍に増えるのかを計算して小数第3位を四捨五入したところ、いずれも $1.32$ 倍であることがわかった。水草 $\mathrm{A}$ の量は、3日ごとにほとんど同じ倍率で増えていることから、「水草 $\mathrm{A}$ の量は、1日ごとに一定の倍率で増える」と考え、その倍率を定数 $r$ とした。
観測結果から、3日目の水草 $\mathrm{A}$ の量は0日目の量の $1.32$ 倍になると考えた。このとき、$r$ は $\dBox{ア} = 1.32$ を満たす。$\log_{10} 1.32 = \dBox{イ}$ であるので
\[ \log_{10} r = 0.\myBox{ウエオカ} \]が得られる。$\dbox{ア}$ の解答群
0: $r$
1: $\dfrac{r}{3}$
2: $3r$
3: $r^3$
4: $3^r$
5: $\log_3 r$$\dbox{イ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
0: $0.0899$
1: $0.1206$
2: $0.1523$
3: $0.2148$
4: $0.2405$
5: $0.3010$
6: $0.3636$
7: $0.4771$(2) 花子さんは、基本方針に次の条件を加えて、作業計画を立てることにした。
条件
・ 作業は14日ごとに行う。
・ 作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を、次回の作業までの間に水草 $\mathrm{A}$ の量がつねに $60\,\%$ を超えない範囲で、できるだけ多くする。作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量について考える。
作業を行った日を0日目として、次回の作業は14日目に行う。なお、作業にかかる時間は考えないものとする。
次のような実数 $a$ を考える。作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $a$ % としたとき、14日目の正午に水草 $\mathrm{A}$ の量がちょうど $60$ % になる。
このとき、(1) の定数 $r$ を用いると、14日目の正午に水草 $\mathrm{A}$ の量は $a$ の $\dBox{キ}$ 倍になるので
\[ a \times \dbox{キ} = \myBox{クケ} \quad \cdots \text{①} \]が成り立つ。① の両辺の常用対数をとり、(1) で求めた $\log_{10} r = 0.\mybox{ウエオカ}$ と $\log_{10} 6 = 0.7782$ であることを用いると、$\log_{10} a = \dBox{コ}$ となる。
$a$ の決め方から、作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $a$ %以下にすれば、次回の作業までの間に水草 $\mathrm{A}$ の量がつねに $60$ % を超えないことがわかる。$a$ 以下で最大の整数は $\myBox{サシ}$ であることから、花子さんは作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $\mybox{サシ}$ % にすることとした。
$\dbox{キ}$ の解答群
0: $r$
1: $\dfrac{r}{14}$
2: $14r$
3: $r^{14}$
4: $14^r$
5: $\log_{14} r$$\dbox{コ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
0: $0.7758$
1: $1.0670$
2: $1.0934$
3: $1.2154$
4: $1.3410$
5: $1.4894$
6: $1.7806$
7: $2.4666$
考え方
指数・対数としての計算としてはそんなに難しくないですが、常用対数表の見方がわからないと途中で進めなくなります。小数の計算も地味に面倒なので、計算間違いに注意しましょう。
【必答問題】
解答編
問題
（常用対数表は省略しています）
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて12、13ページの常用対数表を用いてもよい。
学校の池でメダカを飼うことが決まり、メダカの飼育係になった花子さんは、水質を良くする効果がある水草 $\mathrm{A}$ を水面に浮かべることにした。一方で、水草 $\mathrm{A}$ が増えすぎてメダカに悪影響を与えることを心配した花子さんは、水草 $\mathrm{A}$ を定期的に除去することにし、その作業の計画を立てるために次の基本方針を定めた。
基本方針
・ 水草 $\mathrm{A}$ の量を水草 $\mathrm{A}$ が池の水面を覆う面積の割合（%）で測ることにし、この量をもとに作業計画を立てる。
・ 作業は正午に行う。(1) 水草 $\mathrm{A}$ の増え方を知るために、観測を行った。次の表は、観測を開始した日を0日目として、0日目、3日目、6日目、9日目の正午に観測した水草 $\mathrm{A}$ の量を表したものである。
観測日（日目） 0 3 6 9 水草 $\mathrm{A}$ の量（%） 17.2 22.7 30.0 39.6 水草 $\mathrm{A}$ の量が3日ごとに何倍に増えるのかを計算して小数第3位を四捨五入したところ、いずれも $1.32$ 倍であることがわかった。水草 $\mathrm{A}$ の量は、3日ごとにほとんど同じ倍率で増えていることから、「水草 $\mathrm{A}$ の量は、1日ごとに一定の倍率で増える」と考え、その倍率を定数 $r$ とした。
観測結果から、3日目の水草 $\mathrm{A}$ の量は0日目の量の $1.32$ 倍になると考えた。このとき、$r$ は $\dBox{ア} = 1.32$ を満たす。$\log_{10} 1.32 = \dBox{イ}$ であるので
\[ \log_{10} r = 0.\myBox{ウエオカ} \]が得られる。$\dbox{ア}$ の解答群
0: $r$
1: $\dfrac{r}{3}$
2: $3r$
3: $r^3$
4: $3^r$
5: $\log_3 r$$\dbox{イ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
0: $0.0899$
1: $0.1206$
2: $0.1523$
3: $0.2148$
4: $0.2405$
5: $0.3010$
6: $0.3636$
7: $0.4771$
解説
(1) 水草A の量が1日ごとに、倍率 $r$ で増えるなら、3日では $r^3$ 倍になるので、\[ r^3=1.32 \]が成り立ちます。
問題文にある常用対数表から\[ \log_{10} 1.32=0.1206 \]だとわかります（縦が $1.3$ で、横が $2$ の箇所を見ます）。
これらから
\begin{eqnarray}
r^3 &=& 1.32 \\[5pt]
\log_{10} r^3 &=& \log_{10} 1.32 \\[5pt]
3\log_{10} r &=& 0.1206 \\[5pt]
\log_{10} r &=& 0.0402 \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
解答
ア：3
イ：1
ウエオカ：0402
解答編 つづき
問題
(2) 花子さんは、基本方針に次の条件を加えて、作業計画を立てることにした。
条件
・ 作業は14日ごとに行う。
・ 作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を、次回の作業までの間に水草 $\mathrm{A}$ の量がつねに $60\,\%$ を超えない範囲で、できるだけ多くする。作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量について考える。
作業を行った日を0日目として、次回の作業は14日目に行う。なお、作業にかかる時間は考えないものとする。
次のような実数 $a$ を考える。作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $a$ % としたとき、14日目の正午に水草 $\mathrm{A}$ の量がちょうど $60$ % になる。
このとき、(1) の定数 $r$ を用いると、14日目の正午に水草 $\mathrm{A}$ の量は $a$ の $\dBox{キ}$ 倍になるので
\[ a \times \dbox{キ} = \myBox{クケ} \quad \cdots \text{①} \]が成り立つ。① の両辺の常用対数をとり、(1) で求めた $\log_{10} r = 0.\mybox{ウエオカ}$ と $\log_{10} 6 = 0.7782$ であることを用いると、$\log_{10} a = \dBox{コ}$ となる。
$a$ の決め方から、作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $a$ %以下にすれば、次回の作業までの間に水草 $\mathrm{A}$ の量がつねに $60$ % を超えないことがわかる。$a$ 以下で最大の整数は $\myBox{サシ}$ であることから、花子さんは作業の後に残す水草 $\mathrm{A}$ の量を $\mybox{サシ}$ % にすることとした。
$\dbox{キ}$ の解答群
0: $r$
1: $\dfrac{r}{14}$
2: $14r$
3: $r^{14}$
4: $14^r$
5: $\log_{14} r$$\dbox{コ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。
0: $0.7758$
1: $1.0670$
2: $1.0934$
3: $1.2154$
4: $1.3410$
5: $1.4894$
6: $1.7806$
7: $2.4666$
解説
(2) $14$ 日目には $r^{14}$ 倍になります。なので、 $14$ 日目に $60$ % になるということは\[ a\times r^{14}=60 \]が成り立つということです。
両辺の対数をとり、 $\log_{10}r=0.0402$ と、 $\log_{10} 6=0.7782$ を使うと
\begin{eqnarray}
\log_{10} ar^{14} &=& \log_{10} 60 \\[5pt]
\log_{10} a + 14 \log_{10} r &=& \log_{10} 6 +\log_{10} 10 \\[5pt]
\log_{10} a &=& -14 \cdot 0.0402 + 0.7782 +1 \\[5pt]
&=& 1.2154
\end{eqnarray}と求められます。
$\log_{10} a$ が $1.2154$ 以下で、出来る限り大きくなるように $a$ を決めればいいです。常用対数表から、 $0.2154$ 以下で一番大きいものを探すと、 $\log_{10} 1.64=0.2148$ だとわかります。よって、
\begin{eqnarray}
\log_{10} a &=& 1 +0.2148 \\[5pt]
&=& \log_{10} 10 +\log_{10} 1.64 \\[5pt]
&=& \log_{10} 16.4 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $16$ % にするのが最大だとわかります。
解答
キクケ：360
コ：3
サシ：16
