共通テスト数学II・数学B・数学C 2025年度第1問解説

🕒 2025/01/19 🔄 2025/01/20

【必答問題】

（問題文は後日更新します）

解説

(1)
(i)

$\theta+\dfrac{\pi}{6}=2\theta$ より、 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です。このとき、\[ \sin2\theta=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]となります。

解答

ア：6
イウ：32

解説

(1)
(ii)

$\sin$ は $y$ 座標を表しているので、$\sin\alpha=\sin\beta$ が成り立つのは、 $\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいときです。

解答

エ：2

解説

(1)
(iii)

$0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときを考えます。

$\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいので、 $\alpha+\beta=\pi$ が成り立ちます。よって
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6} +2\theta &=& \pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{5\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{5}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

次に、$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta\lt \pi$ のときを考えます。

$\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいことを使います。 $\alpha-\pi$ と $2\pi-\beta$ が等しいことがわかるので、\[ \alpha+\beta=3\pi \]が成り立ちます。よって
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6} +2\theta &=& 3\pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{17\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{17}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

オカキク：2518
ケコサシス：61718

解説

(2)
まず、角度が等しいとき、つまり、\[ \theta+\frac{\pi}{6}=2\theta \]のときがあります。これは $\sin$ のときと同じで、 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です。

次に、角度が異なるときを考えます。 $\cos$ が等しいのは、 $x$ 座標が等しいときです。 $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときは、 $0\leqq \beta\leqq \pi$ なので、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ が等しくなることはありません（角度が異なって $\cos$ が一致することがないからです）。

$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta\lt \pi$ のときは、 $0\leqq \beta\leqq 2\pi$ なので、 $\pi-\alpha$ と $\beta-\pi$ が等しいときに $\cos$ が等しくなります。つまり、 $\alpha+\beta=2\pi$ のときです。これを解くと
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6}+2\theta &=& 2\pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{11\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{11}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。