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共通テスト 数学II・数学B・数学C 2025年度 第1問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

(1) $0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、方程式\[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 2\theta \quad \cdots \text{①} \]の解を求めよう。以下では、$\alpha = \theta + \dfrac{\pi}{6}$ 、$\beta = 2\theta$ とおく。このとき、① は\[ \sin \alpha = \sin \beta \quad \cdots \text{②} \]となる。

(i) 二つの一般角 $\alpha$ と $\beta$ が等しければ、$\sin \alpha$ と $\sin \beta$ は等しい。$\alpha = \beta$ を満たす $\theta$ は $\dfrac{\pi}{\myBox{ア}}$ であり、これは ① の解の一つである。そして、$\theta = \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ のとき\[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 2\theta = \frac{\sqrt{\myBox{イ}}}{\myBox{ウ}} \]となる。

(ii) 太郎さんと花子さんは、$\theta = \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ 以外の ① の解を求める方法について話している。

  • 角が等しくなくても、サインの値が等しくなることがあるね。
  • サインの値が等しくなるのはどんなときか、単位円を用いて考えてみようか。

 $\mathrm{O}$ を原点とする座標平面において、中心が $\mathrm{O}$ で、半径が $1$ の円を $C$ とする。さらに、$\alpha$ の動径と $C$ との交点を $\mathrm{P}$、$\beta$ の動径と $C$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。ここで、動径は $\mathrm{O}$ を中心とし、その始線は $x$ 軸の正の部分とする。

 ② が成り立つときに、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ の間につねに成り立つ関係の記述として、次の 0 ~ 3 のうち、正しいものは $\dBox{エ}$ である。

$\dBox{エ}$ の解答群
 0: 点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は同じ点である。
 1: 点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標と、点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標が等しい。
 2: 点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標と、点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標が等しい。
 3: 点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は、原点 $\mathrm{O}$ に関して対称である。

(iii) $\theta \neq \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ とする。

・ $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の場合を考える。このとき、$0 \leqq \beta \leqq \pi$ であるので、② が成り立つとき、(ii) で考察したことに注意すると、$\alpha$ と $\beta$ は
\[ \alpha + \beta = \dBox{オ} \]を満たすことがわかる。これより、$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときの ① の解
\[ \theta = \frac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}\pi \]を得る。

・ $\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ の場合を考える。このとき、$\pi \lt \beta \lt 2\pi$ であるので、② が成り立つとき、(ii) で考察したことに注意すると、$\alpha$ と $\beta$ は
\[ \alpha + \beta = \dBox{ケ} \]
を満たすことがわかる。これより、$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ のときの ① の解
\[ \theta = \frac{\myBox{コサ}}{\myBox{シス}}\pi \]を得る。

以上より、$0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、① の解は
\[ \theta = \frac{\pi}{\mybox{ア}} , \frac{\mybox{カ}}{\mybox{キク}}\pi, \frac{\mybox{コサ}}{\mybox{シス}}\pi \]である。

$\dbox{オ},$ $\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $\dfrac{\pi}{2}$

 2: $\pi$

 3: $\dfrac{3}{2}\pi$

 4: $2\pi$

 5: $\dfrac{5}{2}\pi$

 6: $3\pi$

 7: $\dfrac{7}{2}\pi$

(2) $0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、方程式
\[ \cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos 2\theta \]の解は
\[ \theta = \frac{\pi}{\myBox{セ}} , \frac{\myBox{ソタ}}{\myBox{チツ}}\pi \]である。

考え方

三角関数を使って書かれた等式を、単位円を使って解く問題です。誘導が細かくついているので、それに従って解いていきます。

$\alpha+\beta$ は、図をかいて、対称性を利用して求めます。(2)もほぼ同じです。 $\sin$ と $\cos$ で何が違うかを考えて、同じように解きましょう。


【必答問題】

解答編

問題

(1) $0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、方程式\[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 2\theta \quad \cdots \text{①} \]の解を求めよう。以下では、$\alpha = \theta + \dfrac{\pi}{6}$ 、$\beta = 2\theta$ とおく。このとき、① は\[ \sin \alpha = \sin \beta \quad \cdots \text{②} \]となる。

(i) 二つの一般角 $\alpha$ と $\beta$ が等しければ、$\sin \alpha$ と $\sin \beta$ は等しい。$\alpha = \beta$ を満たす $\theta$ は $\dfrac{\pi}{\myBox{ア}}$ であり、これは ① の解の一つである。そして、$\theta = \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ のとき\[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 2\theta = \frac{\sqrt{\myBox{イ}}}{\myBox{ウ}} \]となる。

解説

(1)
(i)

$\theta+\dfrac{\pi}{6}=2\theta$ より、 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です。このとき、\[ \sin2\theta=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]となります。

解答

ア:6
イウ:32

解答編 つづき

問題

(ii) 太郎さんと花子さんは、$\theta = \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ 以外の ① の解を求める方法について話している。

  • 角が等しくなくても、サインの値が等しくなることがあるね。
  • サインの値が等しくなるのはどんなときか、単位円を用いて考えてみようか。

 $\mathrm{O}$ を原点とする座標平面において、中心が $\mathrm{O}$ で、半径が $1$ の円を $C$ とする。さらに、$\alpha$ の動径と $C$ との交点を $\mathrm{P}$、$\beta$ の動径と $C$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。ここで、動径は $\mathrm{O}$ を中心とし、その始線は $x$ 軸の正の部分とする。

 ② が成り立つときに、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ の間につねに成り立つ関係の記述として、次の 0 ~ 3 のうち、正しいものは $\dBox{エ}$ である。

$\dBox{エ}$ の解答群
 0: 点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は同じ点である。
 1: 点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標と、点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標が等しい。
 2: 点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標と、点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標が等しい。
 3: 点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は、原点 $\mathrm{O}$ に関して対称である。

解説

(1)
(ii)

$\sin$ は $y$ 座標を表しているので、$\sin\alpha=\sin\beta$ が成り立つのは、 $\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいときです。

解答

エ:2

解答編 つづき

問題

(iii) $\theta \neq \dfrac{\pi}{\mybox{ア}}$ とする。

・ $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の場合を考える。このとき、$0 \leqq \beta \leqq \pi$ であるので、② が成り立つとき、(ii) で考察したことに注意すると、$\alpha$ と $\beta$ は
\[ \alpha + \beta = \dBox{オ} \]を満たすことがわかる。これより、$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときの ① の解
\[ \theta = \frac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}\pi \]を得る。

・ $\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ の場合を考える。このとき、$\pi \lt \beta \lt 2\pi$ であるので、② が成り立つとき、(ii) で考察したことに注意すると、$\alpha$ と $\beta$ は
\[ \alpha + \beta = \dBox{ケ} \]
を満たすことがわかる。これより、$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ のときの ① の解
\[ \theta = \frac{\myBox{コサ}}{\myBox{シス}}\pi \]を得る。

以上より、$0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、① の解は
\[ \theta = \frac{\pi}{\mybox{ア}} , \frac{\mybox{カ}}{\mybox{キク}}\pi, \frac{\mybox{コサ}}{\mybox{シス}}\pi \]である。

$\dbox{オ},$ $\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $\dfrac{\pi}{2}$

 2: $\pi$

 3: $\dfrac{3}{2}\pi$

 4: $2\pi$

 5: $\dfrac{5}{2}\pi$

 6: $3\pi$

 7: $\dfrac{7}{2}\pi$

解説

(1)
(iii)

$0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときを考えます。

$\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいので、 $y$ 軸を中心にして左右対称です。2つの角の中間は $\dfrac{\pi}{2}$ 、つまり、2つの角の平均が $\dfrac{\pi}{2}$ なので、 $\alpha+\beta=\pi$ が成り立ちます。よって
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6} +2\theta &=& \pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{5\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{5}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

次に、$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta\lt \pi$ のときを考えます。

$\mathrm{P,Q}$ の $y$ 座標が等しいので、この場合も左右対称です。2つの角の平均は $\dfrac{3}{2}\pi$ だから、\[ \alpha+\beta=3\pi \]が成り立ちます。よって
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6} +2\theta &=& 3\pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{17\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{17}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

オカキク:2518
ケコサシス:61718

解答編 つづき

問題

(2) $0 \leqq \theta \lt \pi$ のとき、方程式
\[ \cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos 2\theta \]の解は
\[ \theta = \frac{\pi}{\myBox{セ}} , \frac{\myBox{ソタ}}{\myBox{チツ}}\pi \]である。

解説

(2)
まず、角度が等しいとき、つまり、\[ \theta+\frac{\pi}{6}=2\theta \]のときがあります。これは $\sin$ のときと同じで、 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です。

次に、角度が異なるときを考えます。 $\cos$ が等しいのは、 $x$ 座標が等しいときです。 $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときは、 $0\leqq \beta\leqq \pi$ なので、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ が等しくなることはありません(角度が異なって $\cos$ が一致することがないからです)。

$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta\lt \pi$ のときは、 $0\leqq \beta\leqq 2\pi$ なので、次のような状況だと、 $x$ 座標が等しくなります。

2つの角の平均が $\pi$ のとき、つまり、 $\alpha+\beta=2\pi$ のときです。これを解くと
\begin{eqnarray} \theta+\frac{\pi}{6}+2\theta &=& 2\pi \\[5pt] 3\theta &=& \frac{11\pi}{6} \\[5pt] \theta &=& \frac{11}{18}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

セ:6
ソタチツ:1118

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