共通テスト数学II・数学B 2025年度旧課程第5問解説

🕒 2025/01/20

【第5問～第7問から2問選択】

（問題文は後日更新します）

解説

(1) 母平均 $m_X$ 、母標準偏差 $\sigma$ のとき、標本平均は標本の大きさが十部に大きいときは、近似的に正規分布 $N\left(m_X,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従います。

正規分布表より、 $P(0\leqq Z\leqq z_0)=0.475$ となるような $z_0$ は $1.96$ なので、信頼区間は
\begin{eqnarray} 8900-1.96\cdot\frac{750}{\sqrt{100}} \leqq m_X \leqq 8900+1.96\cdot\frac{750}{\sqrt{100}} \\[5pt] 8900-1.96\cdot 75 \leqq m_X \leqq 8900+1.96\cdot 75 \\[5pt] 8900-196\cdot \frac{3}{4} \leqq m_X \leqq 8900 +196\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] 8900-147 \leqq m_X \leqq 8900 +147 \\[5pt] 8753 \leqq m_X \leqq 9047 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ア：6
イエ：05

解説

(2)(i)
母標準偏差が $\dfrac{\sigma}{1100}$ なので、標本平均の分散は\[ \frac{\sigma^2}{1100^2n} \]となります。

標準偏差が $\dfrac{1}{1100}$ 倍になったので、信頼区間も $\dfrac{1}{1100}$ 倍になるため
\begin{eqnarray} \frac{8753}{1100} \leqq m_0 \leqq \frac{9047}{1100} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。下限は $7.957\cdots$ で、上限は $8.224\cdots$ なので、選択肢の中では、\[ 7.96\leqq m_0\leqq 8.22 \]が一番近いです。

解答

エ：6
オ：3

解説

(2)(ii)

$a=\dfrac{8753}{c}$, $b=\dfrac{9047}{c}$ なので、単価 $c$ 円が安くなる、つまり、 $c$ が小さくなると、 $a,b$ はともに大きくなります。差も $\dfrac{1}{c}$ 倍になるので、$c$ が小さくなると $b-a$ は大きくなります。

解答

カ：5
キ：2

解説

(2)(iii)

$a\leqq m_Y\leqq b$ という範囲が $8$ より大きい範囲に含まれていればいい、とあるので、 $a\gt 8$ ならいいということです。

単価 $c$ で表すと、
\begin{eqnarray} \frac{8753}{c} & \gt & 8 \\[5pt] c &\lt& \frac{8753}{8} \\[5pt] &=& 1094.125 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、単価の最大値は $1094$ となります。