共通テスト 数学II・数学B 2025年度旧課程 第5問 解説
【第5問～第7問から2問選択】
問題編
問題
（正規分布表は省略しています）
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて69ページの正規分布表を用いてもよい。
T社は、新しい工場で使用する蛍光灯の購入先を公募した。その結果、従来から取り引きしているA社と、これまでに取り引きのないB社から応募があった。2社が提示した蛍光灯の平均寿命と単価（蛍光灯1本あたりの価格）は表1のとおりであった。
表１ 蛍光灯の平均寿命と単価 会 社 平均寿命（時間） 単価（円） A 社 $8000$ $1000$ B 社 $9000$ $1100$ 表1の中で、A社製蛍光灯の平均寿命の $8000$ 時間は妥当であるが、B社製蛍光灯の平均寿命については検証が必要であると、T社は判断した。
(1) 無作為に抽出する $n$ 本のB社製蛍光灯の寿命を $X_1, X_2, \cdots, X_n$ と表し、これらを母平均 $m_X$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団からの無作為標本とする。標本平均 $\overline{X} = \dfrac{1}{n} (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$ は、標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、近似的に正規分布 $N \left(m_X, \dBox{ア} \right)$ に従う。
T社が、第三者機関によるB社製蛍光灯の寿命に関する試験結果から、$100$ 本の結果を無作為に抽出したところ、寿命の平均は $8900$ 時間、標本の標準偏差は $750$ 時間であった。標本の大きさ $100$ は十分に大きいので、母標準偏差の代わりに標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。したがって、母平均 $m_X$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間は $\dBox{イ} \leqq m_X \leqq \dBox{ウ}$ である。
$\dbox{ア}$ の解答群
0: $\sigma$1: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{n}$
3: $\dfrac{\sigma}{n}$
4: $\sigma^2$
5: $\dfrac{\sigma^2}{\sqrt{n}}$
6: $\dfrac{\sigma^2}{n}$
7: $\dfrac{\sigma^2}{n^2}$
$\dbox{イ},$ $\dbox{ウ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つずつ選べ。
0: $8753$
1: $8782$
2: $8820$
3: $8980$
4: $9018$
5: $9047$(2) T社は、平均寿命だけでなく、蛍光灯の単価も考慮することにした。そこで、$1$ 円あたりの平均寿命（以下、 単位寿命 と呼ぶ）を比較する。表1から、A社製蛍光灯の単位寿命の母平均は $8$ とする。
(i) B社製蛍光灯の 単位寿命 を、(1) の無作為標本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ を用いて
\[ Y_1 = \dfrac{X_1}{1100} , \quad Y_2 = \dfrac{X_2}{1100} , \quad \cdots, \quad Y_n = \dfrac{X_n}{1100} \]と表し、 単位寿命 の母平均 $m_0$ を $m_0 = \dfrac{m_X}{1100}$ として、$m_0$ に対する信頼区間について検討する。$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ は母平均 $m_0$、母標準偏差 $\dfrac{\sigma}{1100}$ の母集団から抽出した大きさ $n$ の無作為標本とみなせる。標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、標本平均 $\overline{Y} = \dfrac{1}{n} (Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n)$ は、近似的に正規分布 $N \left(m_0, \dBox{エ} \right)$ に従う。
(1) で無作為に抽出したB社製蛍光灯 $100$ 本の試験結果を用いるとき、標本の大きさ $100$ は十分に大きいので、母標準偏差 $\dfrac{\sigma}{1100}$ を標本の標準偏差 $\dfrac{750}{1100}$ で置き換えると、母平均 $m_0$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間は $\dBox{オ}$ となる。$\dbox{エ}$ の解答群
0: $\dfrac{\sigma}{1100}$
1: $\dfrac{\sigma}{1100 \sqrt{n}}$
2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{1100 n}$
3: $\dfrac{\sigma}{1100 n}$
4: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2}$
5: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 \sqrt{n}}$
6: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 n}$
7: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 n^2}$
$\dbox{オ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
0: $7.90 \leqq m_0 \leqq 8.10$
1: $7.90 \leqq m_0 \leqq 8.20$
2: $7.96 \leqq m_0 \leqq 8.20$
3: $7.96 \leqq m_0 \leqq 8.22$
4: $7.98 \leqq m_0 \leqq 8.20$
5: $7.98 \leqq m_0 \leqq 8.22$(ii) T社は、B社製蛍光灯の単価が $1100$ 円より安くなった場合に、B社が蛍光灯の購入先として選定される可能性について検討している。B社製蛍光灯の単価を $c$ 円とおくと、 単位寿命 の母平均 $m_Y$ は (1) の $m_X$ を用いて $m_Y = \dfrac{m_X}{c}$ と表せる。(i) と同様にして (1) で無作為に抽出したB社製蛍光灯 $100$ 本の試験結果を用いて、$m_Y$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間を求め、その信頼区間を $a \leqq m_Y \leqq b$ と表す。このとき、$a, b, b - a$ のそれぞれが $c$ によってどのように変化するのかを調べる。単価 $c$ 円が安くなるとき、$\dBox{カ}$ 、 $b - a$ は $\dBox{キ}$ 。
$\dbox{カ}$ の解答群
0: $a$ と $b$ はともに小さくなり
1: $a$ は小さくなり $b$ は大きくなり
2: $a$ は変わらず $b$ は小さくなり
3: $a$ は変わらず $b$ は大きくなり
4: $a$ は大きくなり $b$ は小さくなり
5: $a$ と $b$ はともに大きくなり$\dbox{キ}$ の解答群
0: 小さくなる
1: 変わらない
2: 大きくなる(iii) (ii) においてB社が購入先として選定されるには、母平均 $m_Y$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間 $a \leqq m_Y \leqq b$ が、A社製蛍光灯の 単位寿命 の母平均 $8$ よりも大きい範囲に含まれていればよいとする。そのためには、$\dBox{ク}$ を満たせばよい。$\dbox{ク}$ を満たすような $c$ の値のうち最大の整数をB社製蛍光灯の単価とするとき、その単価は $\myBox{ケコサシ}$ 円である。したがって、B社製蛍光灯の単価が $\mybox{ケコサシ}$ 円以下であればB社が選定されることもあり得る。
$\dbox{ク}$ の解答群
0: $a \lt 8$
1: $a \gt 8$2: $\dfrac{a + b}{2} \lt 8$
3: $\dfrac{a + b}{2} = 8$
4: $b \lt 8$
5: $b \gt 8$
考え方
標本平均の分散、信頼区間などは、過去問で練習しておけば問題ないでしょう。最後の問題も、意味を考えればそんなに迷うことはないはずです。
【第5問～第7問から2問選択】
解答編
問題
（正規分布表は省略しています）
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて69ページの正規分布表を用いてもよい。
T社は、新しい工場で使用する蛍光灯の購入先を公募した。その結果、従来から取り引きしているA社と、これまでに取り引きのないB社から応募があった。2社が提示した蛍光灯の平均寿命と単価（蛍光灯1本あたりの価格）は表1のとおりであった。
表１ 蛍光灯の平均寿命と単価 会 社 平均寿命（時間） 単価（円） A 社 $8000$ $1000$ B 社 $9000$ $1100$ 表1の中で、A社製蛍光灯の平均寿命の $8000$ 時間は妥当であるが、B社製蛍光灯の平均寿命については検証が必要であると、T社は判断した。
(1) 無作為に抽出する $n$ 本のB社製蛍光灯の寿命を $X_1, X_2, \cdots, X_n$ と表し、これらを母平均 $m_X$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団からの無作為標本とする。標本平均 $\overline{X} = \dfrac{1}{n} (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$ は、標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、近似的に正規分布 $N \left(m_X, \dBox{ア} \right)$ に従う。
T社が、第三者機関によるB社製蛍光灯の寿命に関する試験結果から、$100$ 本の結果を無作為に抽出したところ、寿命の平均は $8900$ 時間、標本の標準偏差は $750$ 時間であった。標本の大きさ $100$ は十分に大きいので、母標準偏差の代わりに標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。したがって、母平均 $m_X$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間は $\dBox{イ} \leqq m_X \leqq \dBox{ウ}$ である。
$\dbox{ア}$ の解答群
0: $\sigma$1: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{n}$
3: $\dfrac{\sigma}{n}$
4: $\sigma^2$
5: $\dfrac{\sigma^2}{\sqrt{n}}$
6: $\dfrac{\sigma^2}{n}$
7: $\dfrac{\sigma^2}{n^2}$
$\dbox{イ},$ $\dbox{ウ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つずつ選べ。
0: $8753$
1: $8782$
2: $8820$
3: $8980$
4: $9018$
5: $9047$
解説
(1) 母平均 $m_X$ 、母標準偏差 $\sigma$ のとき、標本平均は標本の大きさが十分に大きいときは、近似的に正規分布 $N\left(m_X,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従います。
正規分布表より、 $P(0\leqq Z\leqq z_0)=0.475$ となるような $z_0$ は $1.96$ なので、信頼区間は
\begin{eqnarray}
8900-1.96\cdot\frac{750}{\sqrt{100}} \leqq m_X \leqq 8900+1.96\cdot\frac{750}{\sqrt{100}} \\[5pt]
8900-1.96\cdot 75 \leqq m_X \leqq 8900+1.96\cdot 75 \\[5pt]
8900-196\cdot \frac{3}{4} \leqq m_X \leqq 8900 +196\cdot \frac{3}{4} \\[5pt]
8900-147 \leqq m_X \leqq 8900 +147 \\[5pt]
8753 \leqq m_X \leqq 9047 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ア：6
イエ：05
解答編 つづき
問題
(2) T社は、平均寿命だけでなく、蛍光灯の単価も考慮することにした。そこで、$1$ 円あたりの平均寿命（以下、 単位寿命 と呼ぶ）を比較する。表1から、A社製蛍光灯の単位寿命の母平均は $8$ とする。
(i) B社製蛍光灯の 単位寿命 を、(1) の無作為標本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ を用いて
\[ Y_1 = \dfrac{X_1}{1100} , \quad Y_2 = \dfrac{X_2}{1100} , \quad \cdots, \quad Y_n = \dfrac{X_n}{1100} \]と表し、 単位寿命 の母平均 $m_0$ を $m_0 = \dfrac{m_X}{1100}$ として、$m_0$ に対する信頼区間について検討する。$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ は母平均 $m_0$、母標準偏差 $\dfrac{\sigma}{1100}$ の母集団から抽出した大きさ $n$ の無作為標本とみなせる。標本の大きさ $n$ が十分に大きいとき、標本平均 $\overline{Y} = \dfrac{1}{n} (Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n)$ は、近似的に正規分布 $N \left(m_0, \dBox{エ} \right)$ に従う。
(1) で無作為に抽出したB社製蛍光灯 $100$ 本の試験結果を用いるとき、標本の大きさ $100$ は十分に大きいので、母標準偏差 $\dfrac{\sigma}{1100}$ を標本の標準偏差 $\dfrac{750}{1100}$ で置き換えると、母平均 $m_0$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間は $\dBox{オ}$ となる。$\dbox{エ}$ の解答群
0: $\dfrac{\sigma}{1100}$
1: $\dfrac{\sigma}{1100 \sqrt{n}}$
2: $\dfrac{\sqrt{\sigma}}{1100 n}$
3: $\dfrac{\sigma}{1100 n}$
4: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2}$
5: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 \sqrt{n}}$
6: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 n}$
7: $\dfrac{\sigma^2}{1100^2 n^2}$
$\dbox{オ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
0: $7.90 \leqq m_0 \leqq 8.10$
1: $7.90 \leqq m_0 \leqq 8.20$
2: $7.96 \leqq m_0 \leqq 8.20$
3: $7.96 \leqq m_0 \leqq 8.22$
4: $7.98 \leqq m_0 \leqq 8.20$
5: $7.98 \leqq m_0 \leqq 8.22$
解説
(2)(i)
母標準偏差が $\dfrac{\sigma}{1100}$ なので、標本平均の分散は\[ \frac{\sigma^2}{1100^2n} \]となります。
標準偏差が $\dfrac{1}{1100}$ 倍になったので、信頼区間も $\dfrac{1}{1100}$ 倍になるため
\begin{eqnarray}
\frac{8753}{1100} \leqq m_0 \leqq \frac{9047}{1100} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。下限は $7.957\cdots$ で、上限は $8.224\cdots$ なので、選択肢の中では、\[ 7.96\leqq m_0\leqq 8.22 \]が一番近いです。
解答
エ：6
オ：3
解答編 つづき
問題
(ii) T社は、B社製蛍光灯の単価が $1100$ 円より安くなった場合に、B社が蛍光灯の購入先として選定される可能性について検討している。B社製蛍光灯の単価を $c$ 円とおくと、 単位寿命 の母平均 $m_Y$ は (1) の $m_X$ を用いて $m_Y = \dfrac{m_X}{c}$ と表せる。(i) と同様にして (1) で無作為に抽出したB社製蛍光灯 $100$ 本の試験結果を用いて、$m_Y$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間を求め、その信頼区間を $a \leqq m_Y \leqq b$ と表す。このとき、$a, b, b - a$ のそれぞれが $c$ によってどのように変化するのかを調べる。単価 $c$ 円が安くなるとき、$\dBox{カ}$ 、 $b - a$ は $\dBox{キ}$ 。
$\dbox{カ}$ の解答群
0: $a$ と $b$ はともに小さくなり
1: $a$ は小さくなり $b$ は大きくなり
2: $a$ は変わらず $b$ は小さくなり
3: $a$ は変わらず $b$ は大きくなり
4: $a$ は大きくなり $b$ は小さくなり
5: $a$ と $b$ はともに大きくなり$\dbox{キ}$ の解答群
0: 小さくなる
1: 変わらない
2: 大きくなる
解説
(2)(ii)
$a=\dfrac{8753}{c}$, $b=\dfrac{9047}{c}$ なので、単価 $c$ 円が安くなる、つまり、 $c$ が小さくなると、 $a,b$ はともに大きくなります。差も $\dfrac{1}{c}$ 倍になるので、$c$ が小さくなると $b-a$ は大きくなります。
解答
カ：5
キ：2
解答編 つづき
問題
(iii) (ii) においてB社が購入先として選定されるには、母平均 $m_Y$ に対する信頼度 $95\,\%$ の信頼区間 $a \leqq m_Y \leqq b$ が、A社製蛍光灯の 単位寿命 の母平均 $8$ よりも大きい範囲に含まれていればよいとする。そのためには、$\dBox{ク}$ を満たせばよい。$\dbox{ク}$ を満たすような $c$ の値のうち最大の整数をB社製蛍光灯の単価とするとき、その単価は $\myBox{ケコサシ}$ 円である。したがって、B社製蛍光灯の単価が $\mybox{ケコサシ}$ 円以下であればB社が選定されることもあり得る。
$\dbox{ク}$ の解答群
0: $a \lt 8$
1: $a \gt 8$2: $\dfrac{a + b}{2} \lt 8$
3: $\dfrac{a + b}{2} = 8$
4: $b \lt 8$
5: $b \gt 8$
解説
(2)(iii)
$a\leqq m_Y\leqq b$ という範囲が $8$ より大きい範囲に含まれていればいい、とあるので、 $a\gt 8$ ならいいということです。
単価 $c$ で表すと、
\begin{eqnarray}
\frac{8753}{c} & \gt & 8 \\[5pt]
c &\lt& \frac{8753}{8} \\[5pt]
&=& 1094.125 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、単価の最大値は $1094$ となります。
解答
ケコサシ：1094
