共通テスト数学I・数学A 2025年度旧課程第4問解説

🕒 2025/01/20

【第3問～第5問から2問選択】

（問題文は後日更新します）

解説

(1)
\begin{eqnarray} 702 &=& 2\cdot 351 \\[5pt] &=& 2\cdot 3^2\cdot 39 \\[5pt] &=& 2\cdot 3^3\cdot 13 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、正の約数の個数は\[ (1+1)\cdot(3+1)\cdot(1+1)=2\cdot4\cdot2=16 \]個となります。

解答

アイウ：313
エオ：16

解説

(2)
\begin{eqnarray} 9x-23y &=& 1 \\[5pt] 9x-(9\cdot2+5)y &=& 1 \\[5pt] 9(x-2y)-5y &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $x-2y=-1$, $y=-2$ とすると成り立つことがわかります。よって、 $(x,y)=(-5,-2)$ が特殊解だとわかります。

\[ 9\cdot(-5)-23\cdot(-2) =1 \]を先ほどの式から引くと
\begin{eqnarray} 9(x+5) &=& 23(y+2) \end{eqnarray}となることがわかります。 $9$ と $23$ は互いに素なので、これより、整数 $k$ を使って、 $x+5=23k$, $y+2=9k$ とかけます。つまり、 $x=23k-5$, $y=9k-2$ とかけます。

$x$ が正の整数で最小になるのは $k=1$ のときで、このとき、 $x=18$, $y=7$ となります。

解答

カキク：187

解説

(3)(i)

$n$ と $702$ の最大公約数が $9$ ということは、 $9m$ と $9\cdot 78$ の最大公約数が $9$ ということであり、 $m$ と $78$ の最大公約数が $1$ ということです。

解答

ケ：2

解説

(3)(ii)

$n$ は $9$ の倍数で、 $23$ で割った余りが $6$ なので、ある整数 $x,y$ を使って、 $9x$ とも $23y+6$ とも書けることがわかります。

(1)の答え $x=18,y=7$ 、は $9x=23y+1$ の整数解の1つです。なので、 $x=18\cdot 6$, $y=7\cdot 6$ は $9x=23y+6$ の解です。$9\cdot 18\cdot 6=23\cdot 7\cdot 6+1$ をこの式から引くと
\begin{eqnarray} 9(x-18\cdot 6) &=& 23(y-7\cdot 6) \end{eqnarray}なので、整数 $k$ を使って、 $x=18\cdot 6+23k$ と $y=7\cdot 6+9k$ と書けることがわかります。

解答

コサシ：239

解説

(2)(iii)

条件(A) より、 $n=9m$ とかけ、 $m$ は $78$ と互いに素です。

条件(B) より、 $m$ は、整数 $k$ を使って、 $18\cdot 6+23k$ とかけます。 $108+23k$ です。

$k=-4,-3,-2,-1$ とすると、この値は、それぞれ、 $16, 39, 62,85$ となります。 $16$ も $62$ も偶数だから $78$ と互いに素ではありません。 $39=13\cdot 3$ も $78=13\cdot 6$ とは互いに素ではありません。なので、一番小さくて条件を満たすものは、 $k=-1$ で $m=85$ だとわかります。

なので、\[ n=9\cdot 85=765 \]と求められます。