共通テスト 数学I・数学A 2025年度旧課程 第4問 解説

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

(1) 702 を素因数分解すると\[ 702 = 2 \times 3^{\myBox{ア}} \times \myBox{イウ} \]となる。702 の正の約数の個数は $\myBox{エオ}$ 個である。

(2) 不定方程式\[ 9x - 23y = 1 \]の整数解のうち、$x$ が正の整数で最小になるのは\[ x = \myBox{カキ} , \quad y = \myBox{ク} \]である。

(3) 太郎さんと花子さんは、次の二つの条件(A), (B)を満たす正の整数 $n$ について考えている。

　(A) $n$ と 702 の最大公約数が 9 である。
　(B) $n$ を 23 で割った余りが 6 である。

(i) 二人は、条件(A)について話している。

• まず、条件(A)を満たす $n$ について考えてみようよ。
• 条件(A)から $n$ は 9 で割り切れることがわかるね。
• 702 を 9 で割ると 78 になるね。
• $n$ を 9 で割ったときの商と 78 との間にどのような関係があるかな。

　条件(A)より、$n$ はある正の整数 $m$ を用いて、$n = 9m$ と表されることがわかる。このとき、$m$ に関する記述として、次の 0 ～ 2 のうち、正しいものは $\dBox{ケ}$ である。

$\dbox{ケ}$ の解答群

0: $m$ は 78 の倍数である。
1: $m$ は 1 と 78 以外の 78 の約数である。
2: $m$ と 78 の最大公約数は 1 である。

(ii) 二人は、次のように話している。

• 条件(A)と条件(B)をともに満たす $n$ を求めるには、どうすればいいのかな。
• $n$ は 9 の倍数であり、また 23 で割った余りが 6 であるから、不定方程式 $9x = 23y + 6$ の整数解を利用することができそうだね。

　$x = \mybox{カキ}, \ y = \mybox{ク}$ が不定方程式 $9x = 23y + 1$ の整数解であることを用いると、不定方程式\[ 9x = 23y + 6 \]のすべての整数解は、$k$ を整数として
\begin{eqnarray} x &=& \mybox{カキ} \times 6 + \myBox{コサ} k \\ y &=& \mybox{ク} \times 6 + \myBox{シ} k \end{eqnarray}と表される。

(iii) (i)と(ii)より、条件(A)と条件(B)をともに満たす正の整数 $n$ のうち最小のものは $\myBox{スセソ}$ であることがわかる。

(4) 次の命題(a), (b), (c)の真偽の組合せとして正しいものは $\dBox{タ}$ である。

(a) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 23 で割った余りが 4 である正の整数が存在する。
(b) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 24 で割った余りが 7 である正の整数が存在する。
(c) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 24 で割った余りが 6 である正の整数が存在する。

$\dbox{タ}$ の解答群

0: (a) 真　(b) 真　(c) 真
1: (a) 真　(b) 真　(c) 偽
2: (a) 真　(b) 偽　(c) 真
3: (a) 真　(b) 偽　(c) 偽
4: (a) 偽　(b) 真　(c) 真
5: (a) 偽　(b) 真　(c) 偽
6: (a) 偽　(b) 偽　(c) 真
7: (a) 偽　(b) 偽　(c) 偽

考え方

(1)(2)はよくある問題ですが、(3)以降は条件が増えて大変です。(iii)では、どの条件を満たさないといけないか、もれなくチェックしましょう。

(4)も考えづらいですが、(3)までと同じように考えると、どこをチェックすればいいかに注目して考えましょう。

【第3問～第5問から2問選択】

解答編

問題

(1) 702 を素因数分解すると\[ 702 = 2 \times 3^{\myBox{ア}} \times \myBox{イウ} \]となる。702 の正の約数の個数は $\myBox{エオ}$ 個である。

解説

(1)
\begin{eqnarray} 702 &=& 2\cdot 351 \\[5pt] &=& 2\cdot 3^2\cdot 39 \\[5pt] &=& 2\cdot 3^3\cdot 13 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、正の約数の個数は\[ (1+1)\cdot(3+1)\cdot(1+1)=2\cdot4\cdot2=16 \]個となります。

解答

アイウ：313
エオ：16

解答編　つづき

問題

(2) 不定方程式\[ 9x - 23y = 1 \]の整数解のうち、$x$ が正の整数で最小になるのは\[ x = \myBox{カキ} , \quad y = \myBox{ク} \]である。

解説

(2)
\begin{eqnarray} 9x-23y &=& 1 \\[5pt] 9x-(9\cdot2+5)y &=& 1 \\[5pt] 9(x-2y)-5y &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $x-2y=-1$, $y=-2$ とすると成り立つことがわかります。よって、 $(x,y)=(-5,-2)$ が特殊解だとわかります。

\[ 9\cdot(-5)-23\cdot(-2) =1 \]を先ほどの式から引くと
\begin{eqnarray} 9(x+5) &=& 23(y+2) \end{eqnarray}となることがわかります。 $9$ と $23$ は互いに素なので、これより、整数 $k$ を使って、 $x+5=23k$, $y+2=9k$ とかけます。つまり、 $x=23k-5$, $y=9k-2$ とかけます。

$x$ が正の整数で最小になるのは $k=1$ のときで、このとき、 $x=18$, $y=7$ となります。

解答

カキク：187

解答編　つづき

問題

(3) 太郎さんと花子さんは、次の二つの条件(A), (B)を満たす正の整数 $n$ について考えている。

　(A) $n$ と 702 の最大公約数が 9 である。
　(B) $n$ を 23 で割った余りが 6 である。

(i) 二人は、条件(A)について話している。

• まず、条件(A)を満たす $n$ について考えてみようよ。
• 条件(A)から $n$ は 9 で割り切れることがわかるね。
• 702 を 9 で割ると 78 になるね。
• $n$ を 9 で割ったときの商と 78 との間にどのような関係があるかな。

　条件(A)より、$n$ はある正の整数 $m$ を用いて、$n = 9m$ と表されることがわかる。このとき、$m$ に関する記述として、次の 0 ～ 2 のうち、正しいものは $\dBox{ケ}$ である。

$\dbox{ケ}$ の解答群

0: $m$ は 78 の倍数である。
1: $m$ は 1 と 78 以外の 78 の約数である。
2: $m$ と 78 の最大公約数は 1 である。

解説

(3)(i)

$n$ と $702$ の最大公約数が $9$ ということは、 $9m$ と $9\cdot 78$ の最大公約数が $9$ ということであり、 $m$ と $78$ の最大公約数が $1$ ということです。

解答

ケ：2

解答編　つづき

問題

(ii) 二人は、次のように話している。

• 条件(A)と条件(B)をともに満たす $n$ を求めるには、どうすればいいのかな。
• $n$ は 9 の倍数であり、また 23 で割った余りが 6 であるから、不定方程式 $9x = 23y + 6$ の整数解を利用することができそうだね。

　$x = \mybox{カキ}, \ y = \mybox{ク}$ が不定方程式 $9x = 23y + 1$ の整数解であることを用いると、不定方程式\[ 9x = 23y + 6 \]のすべての整数解は、$k$ を整数として
\begin{eqnarray} x &=& \mybox{カキ} \times 6 + \myBox{コサ} k \\ y &=& \mybox{ク} \times 6 + \myBox{シ} k \end{eqnarray}と表される。

解説

(3)(ii)

$n$ は $9$ の倍数で、 $23$ で割った余りが $6$ なので、ある整数 $x,y$ を使って、 $9x$ とも $23y+6$ とも書けることがわかります。

(1)の答え $x=18,y=7$ は $9x=23y+1$ の整数解の1つです。なので、 $x=18\cdot 6$, $y=7\cdot 6$ は $9x=23y+6$ の解です。$9\cdot 18\cdot 6=23\cdot 7\cdot 6+6$ をこの式から引くと
\begin{eqnarray} 9(x-18\cdot 6) &=& 23(y-7\cdot 6) \end{eqnarray}なので、整数 $k$ を使って、 $x=18\cdot 6+23k$ と $y=7\cdot 6+9k$ と書けることがわかります。

解答

コサシ：239

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問題

(iii) (i)と(ii)より、条件(A)と条件(B)をともに満たす正の整数 $n$ のうち最小のものは $\myBox{スセソ}$ であることがわかる。

解説

(3)(iii)

条件(A) より、 $n=9m$ とかけ、 $m$ は $78$ と互いに素です。

条件(B) より、 $m$ は、整数 $k$ を使って、 $18\cdot 6+23k$ とかけます。 $108+23k$ です。

$k=-4,-3,-2,-1$ とすると、この値は、それぞれ、 $16, 39, 62,85$ となります。 $16$ も $62$ も偶数だから $78$ と互いに素ではありません。 $39=13\cdot 3$ も $78=13\cdot 6$ とは互いに素ではありません。なので、一番小さくて条件を満たすものは、 $k=-1$ で $m=85$ だとわかります。

なので、\[ n=9\cdot 85=765 \]と求められます。

解答

スセソ：765

解答編　つづき

問題

(4) 次の命題(a), (b), (c)の真偽の組合せとして正しいものは $\dBox{タ}$ である。

(a) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 23 で割った余りが 4 である正の整数が存在する。
(b) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 24 で割った余りが 7 である正の整数が存在する。
(c) 702 との最大公約数が 9 であり、かつ 24 で割った余りが 6 である正の整数が存在する。

$\dbox{タ}$ の解答群

0: (a) 真　(b) 真　(c) 真
1: (a) 真　(b) 真　(c) 偽
2: (a) 真　(b) 偽　(c) 真
3: (a) 真　(b) 偽　(c) 偽
4: (a) 偽　(b) 真　(c) 真
5: (a) 偽　(b) 真　(c) 偽
6: (a) 偽　(b) 偽　(c) 真
7: (a) 偽　(b) 偽　(c) 偽

解説

(4)

(a)について、(3)(ii)と同じようにすると、 $m=18\cdot4+23k=72+23k$ となり、 $k=-1$ のときに $m=49$ となり、 $78$ とは互いに素になります。

つまり、 $9\cdot 49$ は、 $702$ との最大公約数が $9$ で、 $23$ で割った余りが $4$ である正の整数の例だとわかります。

(b)について、 $9x=24y+7$ となる整数 $x,y$ が存在するとすると、 $9x-24y=7$ となりますが、左辺は $3$ の倍数、右辺は $3$ の倍数ではないので、矛盾します。なので、条件を満たすものは存在しません。

(c)について、 $24$ で割った余りが $6$ である整数は $6$ の倍数なので、 $702$ との最大公約数が奇数になることはありません。なので、この場合も条件を満たすものは存在しません。

よって、真、偽、偽となります。

解答

タ：3