共通テスト 数学I・数学A 2025年度旧課程 第3問 解説

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

　じゃんけんは、複数人でグー、チョキ、パーの3種類の手のいずれかを同時に出して勝敗を決めるゲームである。グーを出した人はチョキを出した人に勝ちパーを出した人に負け、チョキを出した人はパーを出した人に勝ちグーを出した人に負け、パーを出した人はグーを出した人に勝ちチョキを出した人に負ける。出された手が2種類のときは勝敗が決まる。全員の手がすべて同じか、または3種類の手がすべて出ると、勝敗が決まらず、これをあいこという。
　以下では、各人が、グーを出す確率、チョキを出す確率、パーを出す確率はどれも $\dfrac{1}{3}$ であるとする。

　二人もしくは三人で次の ルール１ に従ってじゃんけんを行う。

ルール１

• じゃんけんを、最大で3回行う。ただし、あいこも1回と数える。
• 勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり、その一人を優勝者と呼ぶ。
• ある回で負けていない人は、次の回のじゃんけんに参加する。
• ある回で負けた人は、次の回以降のじゃんけんには参加しない。

(1) 二人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。

(i) 1回目であいこになる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。したがって、1回目で優勝者が決まる確率は $1 - \dfrac{\mybox{ア}}{\mybox{イ}}$ である。

(ii) 2回目で優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。

(iii) 3回目で優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。

(2) 三人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。また、人数の推移 を次のように表すものとする。

人数の推移

• 1回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to 1$ と表す。
• 2回目のじゃんけんを行う人数が $m$ 人で、かつ2回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to m \to 1$ と表す。
• 2回目、3回目において、じゃんけんを行う人数がそれぞれ $m$ 人、$n$ 人で、かつ3回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to m \to n \to 1$ と表す。

(i) 1回目で優勝者が決まる、つまり 人数の推移 が $3 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。

(ii) 2回目で優勝者が決まる場合、起こり得る 人数の推移 は $3 \to 3 \to 1$ と $3 \to 2 \to 1$ である。

・ 人数の推移 が $3 \to 3 \to 1$ となるのは、1回目であいこになり、かつ2回目で優勝者が決まる場合である。1回目であいこになる確率は $\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。
したがって、 人数の推移 が $3 \to 3 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\mybox{コ}}{\mybox{サ}} \times \dfrac{\mybox{ク}}{\mybox{ケ}}$ である。

・ 人数の推移 が $3 \to 2 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}$ である。
以上から、2回目で優勝者が決まる確率はこれらを足し合わせて求められる。

(iii) 3回目で優勝者が決まる確率は\[ \frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}} \]である。

(3) 三人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合と、三人で次の ルール２ に従ってじゃんけんを行う場合に、優勝者が決まる確率がどれくらい異なるのかについて考えよう。

ルール２

• じゃんけんを、最大で3回行う。ただし、あいこも1回と数える。
• 勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり、その一人を優勝者と呼ぶ。
• ある回で負けていない人は、次の回のじゃんけんに参加する。
• 1回目で負けた人は、2回目には参加しない。また、2回目で優勝者が決まっていない場合、1回目で負けた人は、3回目に参加する。
• 2回目で負けた人は、3回目には参加しない。

(i) 三人で ルール２ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。3回目で優勝者が決まる場合、2回目、3回目において、じゃんけんを行う人数をそれぞれ $m$ 人、$n$ 人とする。このとき、起こり得る $m, n$ の組 $(m, n)$ として、次の 0 ～ 9 のうち、正しいものは $\dBox{チ}$ である。

$\dbox{チ}$ の解答群

0: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ だけ
1: $(2, 2)$ と $(3, 2)$ だけ
2: $(2, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
3: $(2, 3)$ と $(3, 2)$ だけ
4: $(2, 3)$ と $(3, 3)$ だけ
5: $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
6: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ と $(3, 2)$ だけ
7: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ と $(3, 3)$ だけ
8: $(2, 2)$ と $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
9: $(2, 3)$ と $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ

(ii) ルール１ の方が ルール２ に比べて、優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テト}}$ だけ $\dBox{ナ}$ 。

$\dbox{ナ}$ の解答群

0: 大きい
1: 小さい

考え方

じゃんけんの説明はさすがに要らないような気がします。ルール１もたいそうな名前がついていますが、一人を決めるときの普通のじゃんけんです。

3回目で優勝者が決まる、というのは、暗に2回目までは決まらないということ、つまり、人数が1人にはならない、という点に注意しましょう。

ルール２は復活があります。復活でどういうところが変わるのかを、ルール１のときと比較しながら考えましょう。

【第3問～第5問から2問選択】

解答編

問題

　じゃんけんは、複数人でグー、チョキ、パーの3種類の手のいずれかを同時に出して勝敗を決めるゲームである。グーを出した人はチョキを出した人に勝ちパーを出した人に負け、チョキを出した人はパーを出した人に勝ちグーを出した人に負け、パーを出した人はグーを出した人に勝ちチョキを出した人に負ける。出された手が2種類のときは勝敗が決まる。全員の手がすべて同じか、または3種類の手がすべて出ると、勝敗が決まらず、これをあいこという。
　以下では、各人が、グーを出す確率、チョキを出す確率、パーを出す確率はどれも $\dfrac{1}{3}$ であるとする。

　二人もしくは三人で次の ルール１ に従ってじゃんけんを行う。

ルール１

• じゃんけんを、最大で3回行う。ただし、あいこも1回と数える。
• 勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり、その一人を優勝者と呼ぶ。
• ある回で負けていない人は、次の回のじゃんけんに参加する。
• ある回で負けた人は、次の回以降のじゃんけんには参加しない。

(1) 二人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。

(i) 1回目であいこになる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。したがって、1回目で優勝者が決まる確率は $1 - \dfrac{\mybox{ア}}{\mybox{イ}}$ である。

(ii) 2回目で優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。

(iii) 3回目で優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。

解説

(1)
(i) 二人が出す手は $3\times 3=9$ 通りあり、このうち、あいこになるのは $3$ 通りなので、あいこになる確率は $\dfrac{1}{3}$ です。余事象を考えると、1回目で優勝者が決まる確率は $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ となります。

(ii) 2回目で優勝者が決まるのは、1回目があいこで、2回目があいこでない場合なので\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9} \]です。

(iii) 3回目で優勝者が決まるのは、1回目と2回目があいこで、3回目があいこでない場合なので\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{27} \]となります。

解答

アイ：13
ウエオカキ：29227

解答編　つづき

問題

(2) 三人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。また、人数の推移 を次のように表すものとする。

人数の推移

• 1回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to 1$ と表す。
• 2回目のじゃんけんを行う人数が $m$ 人で、かつ2回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to m \to 1$ と表す。
• 2回目、3回目において、じゃんけんを行う人数がそれぞれ $m$ 人、$n$ 人で、かつ3回目で優勝者が決まる場合を、$3 \to m \to n \to 1$ と表す。

(i) 1回目で優勝者が決まる、つまり 人数の推移 が $3 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。

解説

(2)(i)
3人の手の出し方は、全部で $27$ 通りです。

優勝者が決まる場合、誰が優勝するかが $3$ 通りあります。

また、グーで優勝するか、チョキで優勝するか、パーで優勝するか、3つのどれかしかなく、優勝者の手が決まれば負ける人の手は自動的に決まるので、優勝者が決まる手の組合せは $3$ 通りです。

なので、人数の推移が $3\to 1$ となる確率は\[ \frac{3\cdot3}{27}=\frac{1}{3} \]となります。

解答

解答編　つづき

問題

(ii) 2回目で優勝者が決まる場合、起こり得る 人数の推移 は $3 \to 3 \to 1$ と $3 \to 2 \to 1$ である。

・ 人数の推移 が $3 \to 3 \to 1$ となるのは、1回目であいこになり、かつ2回目で優勝者が決まる場合である。1回目であいこになる確率は $\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。
したがって、 人数の推移 が $3 \to 3 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\mybox{コ}}{\mybox{サ}} \times \dfrac{\mybox{ク}}{\mybox{ケ}}$ である。

・ 人数の推移 が $3 \to 2 \to 1$ となる確率は $\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}$ である。
以上から、2回目で優勝者が決まる確率はこれらを足し合わせて求められる。

解説

(2)(ii)

あいこになるのは、手が1種類のときと3種類のときです。

1種類のときは、手の出し方は $3$ 通りです。

3種類のときは、手の出し方は $3\cdot 2\cdot 1=6$ 通りです。

なので、1回目であいことなる確率は\[ \frac{3+6}{27}=\frac{1}{3} \]となり、人数の推移が $3\to3\to 1$ となる確率は\[ \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]となります。

次に、人数の推移が $3\to2\to1$ となる確率を考えます。はじめいた3人は、次の段階で1人か2人か3人か、のいずれかになります。1人になる確率は (i) で求めたように $\dfrac{1}{3}$ で、3人になる確率も先ほど求めたように $\dfrac{1}{3}$ なので、2人になる確率は $\dfrac{1}{3}$ となります。

2人から次の段階で1人になる確率は、(1)(i)で見たように、 $\dfrac{2}{3}$ だから\[ \frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9} \]となります。

こうして、2回目で優勝者が決まる確率は\[ \frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3} \]となります。

解答

コサ：13
シス：29

解答編　つづき

問題

(iii) 3回目で優勝者が決まる確率は\[ \frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}} \]である。

解説

(2)(iii)

$3\to3$ から始まる場合、つまり、1回目であいこになる場合をまず考えます。

この後は「2回目で優勝者が決まる場合」と同じように考えればいいので、確率は\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]となります。

$3\to2$ から始まる場合、 $3\to2\to2\to1$ となるしかありません。 $3\to 2$ となる確率は $\dfrac{1}{3}$ です。この次はあいこ、その次は優勝者がきまるので、こうなる確率は\[ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{27} \]となります。

両方を合わせて、3回目で優勝者が決まる確率は\[ \frac{1}{9}+\frac{2}{27}=\frac{5}{27} \]と求められます。

解答

セソタ：527

解答編　つづき

問題

(3) 三人で ルール１ に従ってじゃんけんを行う場合と、三人で次の ルール２ に従ってじゃんけんを行う場合に、優勝者が決まる確率がどれくらい異なるのかについて考えよう。

ルール２

• じゃんけんを、最大で3回行う。ただし、あいこも1回と数える。
• 勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり、その一人を優勝者と呼ぶ。
• ある回で負けていない人は、次の回のじゃんけんに参加する。
• 1回目で負けた人は、2回目には参加しない。また、2回目で優勝者が決まっていない場合、1回目で負けた人は、3回目に参加する。
• 2回目で負けた人は、3回目には参加しない。

(i) 三人で ルール２ に従ってじゃんけんを行う場合を考える。3回目で優勝者が決まる場合、2回目、3回目において、じゃんけんを行う人数をそれぞれ $m$ 人、$n$ 人とする。このとき、起こり得る $m, n$ の組 $(m, n)$ として、次の 0 ～ 9 のうち、正しいものは $\dBox{チ}$ である。

$\dbox{チ}$ の解答群

0: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ だけ
1: $(2, 2)$ と $(3, 2)$ だけ
2: $(2, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
3: $(2, 3)$ と $(3, 2)$ だけ
4: $(2, 3)$ と $(3, 3)$ だけ
5: $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
6: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ と $(3, 2)$ だけ
7: $(2, 2)$ と $(2, 3)$ と $(3, 3)$ だけ
8: $(2, 2)$ と $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ
9: $(2, 3)$ と $(3, 2)$ と $(3, 3)$ だけ

解説

(3)(i)

3回目で優勝者が決まる場合を考えます。

1回目で1人になることはないので、1回目が終わった段階では、2人か3人になります。

2回目のじゃんけんを2人でした場合、じゃんけん後は2人となります。ルール2 より、3回目のじゃんけんでは1回目で負けた人が参加するので、3回目は3人ですることになります。つまり、 $3\to 2\to 3\to 1$ となります。

2回目のじゃんけんを3人でした場合、じゃんけん後は2人か3人となります。ルール2 でも新しく増える人はいないので、 $3\to 3\to 3\to 1$ か $3\to 3\to 2\to 1$ となります。

これより、起こりえる $(m,n)$ は $(2,3)$, $(3,2)$, $(3,3)$ となります。

解答

チ：9

解答編　つづき

問題

(ii) ルール１ の方が ルール２ に比べて、優勝者が決まる確率は $\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テト}}$ だけ $\dBox{ナ}$ 。

$\dbox{ナ}$ の解答群

0: 大きい
1: 小さい

解説

(3)(ii)

ルール1 とルール2 を見比べると、3回目で優勝者が決まるケースにだけ差があることがわかります。このうち、 $3\to 2$ から始まるケースのみが異なることがわかります。なので、この場合の確率だけを考えればいいです。

まず、ルール1 の場合を振り返ります。 $3\to2\to2\to1$ となる確率は、(2)(iii) で求めたように、\[ \frac{2}{27} \]となります。

一方、ルール2 の場合は、 $3\to2\to3\to 1$ となる確率です。

3人の次に2人になる確率は、(2)(ii)で見たように、 $\dfrac{1}{3}$ です。

2回目は、2人でじゃんけんをしてあいこになるので、こうなる確率は、(1)(i)で見たように、 $\dfrac{1}{3}$ です。

3回目は3人でじゃんけんをして1人に決まるので、(2)(i)で見たように、 $\dfrac{1}{3}$ です。

よって、 $3\to2\to3\to1$ となる確率は\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27} \]となります。

以上から、ルール1 のほうがルール2 より、優勝者が決まる確率が $\dfrac{1}{27}$ だけ大きいことがわかります。

なお、そもそもルール2は人が復活するのだから、優勝者が決まりにくくなる（＝ルール1のほうが確率が大きくなる）ことは予想できます。

解答

ツテトナ：1270