京都大学 理系 2026年度 第6問 解説
問題編
問題
$n$ は $3$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から $3$ 枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号を $X$ とする。 $X$ の期待値を求めよ。
考え方
最大値が $k$ となるような選び方はすぐにわかるので、期待値を計算するための式まではすぐにたどり着けるでしょう。そのあとの和をどのように計算するかはいろいろなやり方があります。愚直に計算してもいいですが、計算間違いに注意しましょう。
解答編
問題
$n$ は $3$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から $3$ 枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号を $X$ とする。 $X$ の期待値を求めよ。
解答
$k$ を $3$ 以上の整数とする。3枚の札の中で一番大きな番号が $k$ となるような選び方は、 ${}_{k-1}\mathrm{C}_2$ 通りなので、 $X$ の期待値は\[ \sum_{k=3}^n k\cdot \dfrac{ {}_{k-1}\mathrm{C}_2}{ {}_n\mathrm{C}_3} \]だから
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{k=3}^n k\cdot \dfrac{ {}_{k-1}\mathrm{C}_2}{ {}_n\mathrm{C}_3} \\[5pt]
&=&
\dfrac{1}{ {}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n \dfrac{k(k-1)(k-2)}{2} \\[5pt]
&=&
\dfrac{1}{ 2{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n \dfrac{(k+1)k(k-1)(k-2)-k(k-1)(k-2)(k-3)}{4} \\[5pt]
&=&
\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)} \cdot \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4} \\[5pt]
&=&
\dfrac{3(n+1)}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。…（答）
解説
計算式の途中にある\[ (k+1)k(k-1)(k-2)-k(k-1)(k-2)(k-3) \]の部分の和は
\begin{eqnarray}
& & 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 - 3\cdot 2\cdot 1\cdot 0 \\[5pt]
&+& 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 - 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \\[5pt]
&+& 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 - 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となっていき、 $k$ 行目の前半と $k+1$ 行目の後半が打ち消しあい、 $1$ 行目の後半は $0$ なので、最後の行の前半だけが残る、という計算をしています。
別解 その１
（期待値の式を導出するところまでは同じ）
ここで、 $1$ から $n+1$ までの番号から $4$ つの番号を選ぶ方法の総数は ${}_{n+1}\mathrm{C}_4$ であり、選んだ $4$ つのうちの最大値が $k$ となるような選び方は ${}_{k-1}\mathrm{C}_3$ だから、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=4}^{n+1} {}_{k-1}\mathrm{C}_3 &=& {}_{n+1}\mathrm{C}_4 \\[5pt]
\sum_{k=3}^{n} {}_{k}\mathrm{C}_3 &=& {}_{n+1}\mathrm{C}_4 \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つので、求める期待値は
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{k=3}^n k\cdot \dfrac{ {}_{k-1}\mathrm{C}_2}{ {}_n\mathrm{C}_3} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{ {}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n k\cdot \dfrac{(k-1)(k-2)}{2} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{ {}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n 3\cdot \dfrac{k(k-1)(k-2)}{6} \\[5pt]
&=&
\frac{3}{ {}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n {}_{k}\mathrm{C}_3 \\[5pt]
&=&
\frac{3}{ {}_n\mathrm{C}_3} {}_{n+1}\mathrm{C}_4 \\[5pt]
&=&
\frac{18}{n(n-1)(n-2)} \cdot \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4\cdot3\cdot2\cdot 1} \\[5pt]
&=&
\frac{3(n+1)}{4}
\end{eqnarray}となる。…（答）
別解 その２
（期待値の式を導出するところまでは同じ）
求める期待値は
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{k=3}^n k\cdot \dfrac{ {}_{k-1}\mathrm{C}_2}{ {}_n\mathrm{C}_3} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{ {}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=3}^n \frac{k(k-1)(k-2)}{2} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n k(k-1)(k-2) \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n (k^3-3k^2+2k) \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \left\{ \frac{n^2(n+1)^2}{4} -3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right\} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \cdot n(n+1) \left\{ \frac{n(n+1)}{4} -\frac{2n+1}{2} +1\right\} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \cdot n(n+1) \cdot \frac{n^2+n-2(2n+1)+4}{4} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2{}_n\mathrm{C}_3} \cdot n(n+1) \cdot \frac{n^2-3n+2}{4} \\[5pt]
&=&
\frac{6}{2n(n-1)(n-2)} \cdot n(n+1) \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{4} \\[5pt]
&=&
\frac{3(n+1)}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。…（答）
