京都大学 理系 2026年度 第1問 解説
問題編
問題
$a$ は $1$ より大きい実数とし、 $k$ は実数とする。 $0\lt x\lt 1$ において定義された関数を\[ f(x)=\dfrac{1}{x^2\left(\log\frac{a}{x}\right)^2} \]とおく。 $y=f(x)$ と $y=k$ のグラフの共有点がちょうど $2$ 個存在するような実数の組 $(a,k)$ の集合を、座標平面上に図示せよ。ただし $\log x$ は自然対数とする。また、 $\displaystyle\lim_{x\to+0} x\log x=0$ が成り立つことを証明なしに用いてよい。
考え方
解答編
問題
$a$ は $1$ より大きい実数とし、 $k$ は実数とする。 $0\lt x\lt 1$ において定義された関数を\[ f(x)=\dfrac{1}{x^2\left(\log\frac{a}{x}\right)^2} \]とおく。 $y=f(x)$ と $y=k$ のグラフの共有点がちょうど $2$ 個存在するような実数の組 $(a,k)$ の集合を、座標平面上に図示せよ。ただし $\log x$ は自然対数とする。また、 $\displaystyle\lim_{x\to+0} x\log x=0$ が成り立つことを証明なしに用いてよい。
解答
\[ g(x)=x^2\left(\log\frac{a}{x}\right)^2 \]とすると
\begin{eqnarray}
g'(x)
&=&
2x \left(\log\frac{a}{x}\right)^2+x^2 \cdot 2\left(\log\frac{a}{x}\right) \left(\log a-\log x\right)' \\[5pt]
&=&
2x \left(\log\frac{a}{x}\right)^2+2x^2\left(\log\frac{a}{x}\right) \left(-\frac{1}{x}\right) \\[5pt]
&=&
2x \left(\log\frac{a}{x}\right)^2 -2x\left(\log\frac{a}{x}\right) \\[5pt]
&=&
2x \left(\log\frac{a}{x}\right) \left(\log\frac{a}{x}-1\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
$a\gt 1$ かつ $0\lt x\lt 1$ なので、 $2x\gt 0$ と $\log\dfrac{a}{x} \gt 0$ が成り立つ。
もし、 $a\geqq e$ ならば\[ \log\frac{a}{x}-1 \gt \log\frac{e}{1}-1=0 \]なので、 $g'(x)$ は正だから $g(x)$ は狭義単調増加となる。 $g(x)$ は正だから、 $f(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ は狭義単調減少となるので、 $y=f(x)$ と $y=k$ のグラフの共有点が2個となることはない。
以下では、 $1\lt a\lt e$ の場合を考える。このとき、 $x=\dfrac{a}{e}$ のときに $g'(x)=0$ となるので、 $g(x)$ の増減表は以下のようになる。
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{a}{e} & \cdots & 1 \\ \hline g'(x) & \times & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & \times & \nearrow & \frac{a^2}{e^2} & \searrow & (\log a)^2 \end{array}$f(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ であり、 $g(x)$ は正だから、 $f(x)$ の増減表は以下のようになる。
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{a}{e} & \cdots & 1 \\ \hline f(x) & \times & \searrow & \frac{e^2}{a^2} & \nearrow & \times \end{array}ここで、
\begin{eqnarray}
g(x)
&=&
x^2\left(\log\frac{a}{x}\right)^2 \\[5pt]
&=&
x^2\left(\log a-\log x\right)^2 \\[5pt]
&=&
\left(x\log a-x\log x\right)^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、問題文にあることから、 $x\to +0$ のとき、 $g(x)$ は正の値をとりながら $0$ に近づいていくので、\[ \lim_{x\to +0} f(x)= \infty \]である。また、\[ \lim_{x\to 1} f(x)= \frac{1}{(\log a)^2} \]である。
以上より、 $y=f(x)$ と $y=k$ のグラフの共有点がちょうど2個となるのは\[ \dfrac{e^2}{a^2} \lt k \lt \frac{1}{(\log a)^2} \]のときであることがわかる。
$\dfrac{e^2}{a^2},\ \dfrac{1}{(\log a)^2}$ はともに単調減少で、 $a=e$ のときにどちらも $1$ になることから、求める範囲は以下の色のついた部分となる。ただし、境界線上の点は含まない。
…（答）
