京都大学 理系 2025年度 第6問 解説
問題編
問題
$n$ は $2$ 以上の整数とする。1枚の硬貨を続けて $n$ 回投げる。このとき、$k$ 回目 $(1\leqq k\leqq n)$ に表が出たら $X_k=1$、裏が出たら $X_k=0$ として、$X_1,X_2,\cdots,X_n$ を定める。\[ Y_n=\sum_{k=2}^{n}X_{k-1}X_k \]とするとき、 $Y_k$ が奇数である確率 $p_n$ を求めよ。
考え方
確率漸化式の問題ですが、 $n+1$ と $n$ の場合をそのまま見比べているだけではうまくいきません。試行錯誤が必要です。
解答編
問題
$n$ は $2$ 以上の整数とする。1枚の硬貨を続けて $n$ 回投げる。このとき、$k$ 回目 $(1\leqq k\leqq n)$ に表が出たら $X_k=1$、裏が出たら $X_k=0$ として、$X_1,X_2,\cdots,X_n$ を定める。\[ Y_n=\sum_{k=2}^{n}X_{k-1}X_k \]とするとき、 $Y_k$ が奇数である確率 $p_n$ を求めよ。
解答
$Y_2$ が奇数になるのは、 $X_1=X_2=1$ のときのみなので、 $p_2=\dfrac{1}{4}$ である。
$Y_3$ が奇数になるのは、 $(X_1,X_2,X_3)$ が $(1,1,0)$ か $(0,1,1)$ のときのみなので、 $p_3=\dfrac{2}{2^3}=\dfrac{1}{4}$ である。
次に、 $Y_{n+2}$ が奇数になる場合を考える。
$Y_n$ が奇数のときは、 $X_nX_{n+1}+X_{n+1}X_{n+2}$ が偶数のときなので、 $(X_n,X_{n+1},X_{n+2})$ は以下の6通りのどれかである。
\begin{eqnarray}
(X_n,X_{n+1},X_{n+2})
&=&
(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), \\[5pt]
& &
(1,0,0), (1,0,1), (1,1,1)
\end{eqnarray}
つまり、 $X_n$ が $0$ でも $1$ でも、 $X_{n+1}=0$ の場合か、 $X_{n+1}=1$ かつ $X_{n+2}=X_n$ の場合であるので、こうなる確率は\[ p_n \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}p_n \]となる。
$Y_n$ が偶数のときは、 $X_nX_{n+1}+X_{n+1}X_{n+2}$ が奇数のときなので、 $(X_n,X_{n+1},X_{n+2})$ は以下の2通りのどれかである。
\begin{eqnarray}
(X_n,X_{n+1},X_{n+2})
&=&
(0,1,1), (1,1,0)
\end{eqnarray}
つまり、 $X_n$ が $0$ でも $1$ でも、 $X_{n+1}=1$ かつ $X_{n+2}=1-X_n$ の場合であるので、こうなる確率は\[ (1-p_n) \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac{1}{4}(1-p_n) \]となる。
以上から、\[ p_{n+2}=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{4}(1-p_n)=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{4} \]が成り立つ。これより\[ p_{n+2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(p_n-\dfrac{1}{2}\right) \]が成り立つ。
なので、 $m$ を自然数として、 $n=2m$ のときは
\begin{eqnarray}
p_{2m}
&=&
\frac{1}{2^{m-1}} \left(p_2-\dfrac{1}{2}\right) +\frac{1}{2} \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{2^{m+1}} +\frac{1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}
となり、 $n=2m+1$ のときは
\begin{eqnarray}
p_{2m+1}
&=&
\frac{1}{2^{m-1}} \left(p_3-\dfrac{1}{2}\right) +\frac{1}{2} \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{2^{m+1}} +\frac{1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}
となる。（答）
解説
上の解答では、 $n+2$ と $n$ の場合を比較していますが、 $n+1$ と $n$ の比較だとうまくいきません。 $Y_{n+1}$ が奇数となる場合を考えてみます。 $Y_n$ が奇数の場合は、 $X_nX_{n+1}$ は偶数でないといけないので\[ (X_n,X_{n+1})=(0,0),(0,1),(1,0) \]の場合となり、 $Y_n$ が偶数のときは\[ (X_n,X_{n+1})=(1,1) \]となります。 つまり、 $X_n$ が $0$ か $1$ かで、状況が変わってしまいます。これに対応するには、「 $Y_n$ が奇数で $X_n=0$ の場合」などと分ける必要があり、煩雑になってしまいます。
最後のところは、 $n$ で書くと、偶数の場合は\[ p_n=-\frac{1}{2^{\frac{n}{2}+1}} +\frac{1}{2} \]と表すことができ、奇数の場合は\[ p_n=-\frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} +\frac{1}{2} \]と表すことができます。この書き方でも構いません。
