京都大学 理系 2025年度 第4問 解説
問題編
問題
座標空間の4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないとする。 $s,t,u$ は $0$ でない実数とする。直線 $\mathrm{OA}$ 上の点 $\mathrm{L}$、直線 $\mathrm{OB}$ 上の点 $\mathrm{M}$、直線 $\mathrm{OC}$ 上の点 $\mathrm{N}$ を\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]が成り立つようにとる。
(1) $s,t,u$ が $\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点 $\mathrm{L,M,N}$ の定める平面 $\mathrm{LMN}$ は、 $s,t,u$ の値に無関係な一定の点 $\mathrm{P}$ を通ることを示せ。さらに、そのような点 $\mathrm{P}$ はただ一つに定まることを示せ。
(2) 四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を $V$ とする。(1)における点 $\mathrm{P}$ について、四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積を $V$ を用いて表せ。
考え方
$s,t,u$ が分母にあり、あまり見たことがないので考えにくいです。ただ、 $s,t,u$ の値に無関係ということは、自由に自分で設定できる値を使って、 $s,t,u$ が消えるようにすればいいです。
ただ一つであることはまた別の考え方を使います。1つ存在することがわかったので、それを使って図形的に考えてみましょう。
(1)ができれば、(2)はおまけです。
解答編
問題
座標空間の4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないとする。 $s,t,u$ は $0$ でない実数とする。直線 $\mathrm{OA}$ 上の点 $\mathrm{L}$、直線 $\mathrm{OB}$ 上の点 $\mathrm{M}$、直線 $\mathrm{OC}$ 上の点 $\mathrm{N}$ を\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]が成り立つようにとる。
(1) $s,t,u$ が $\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点 $\mathrm{L,M,N}$ の定める平面 $\mathrm{LMN}$ は、 $s,t,u$ の値に無関係な一定の点 $\mathrm{P}$ を通ることを示せ。さらに、そのような点 $\mathrm{P}$ はただ一つに定まることを示せ。
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。
平面 $\mathrm{LMN}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ は、 $l+m+n=1$ を満たす実数 $l,m,n$ を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
=
l \overrightarrow{\mathrm{OL}}
+m \overrightarrow{\mathrm{OM}}
+n \overrightarrow{\mathrm{ON}}
\end{eqnarray}とかける。ここで、
$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を変形すると、$\dfrac{1}{4s}+\dfrac{2}{4t}+\dfrac{3}{4u}=1$ となるから、 $l=\dfrac{1}{4s}$, $m=\dfrac{2}{4t}$, $n=\dfrac{3}{4u}$ とすれば、 $l+m+n=1$ を満たし、
\begin{eqnarray}
& &
l \overrightarrow{\mathrm{OL}}
+m \overrightarrow{\mathrm{OM}}
+n \overrightarrow{\mathrm{ON}} \\[5pt]
&=&
ls\vec{a} +mt\vec{b}+nu\vec{c} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{4}\vec{a} +\frac{2}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}\vec{a} +\frac{2}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c} \]となるように点 $\mathrm{P}$ をとれば、平面 $\mathrm{LMN}$ は、 $s,t,u$ に無関係な点 $\mathrm{P}$ を通ることがわかる。
次に、条件を満たす点はこれ以外にないことを示す。
$(s,t,u)=(1,1,3),\left(1,2,\frac{3}{2}\right)$ は、どちらも、$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす。それぞれの値で定まる平面 $\mathrm{LMN}$ を $\alpha_1,\alpha_2$ とすると、2つの平面 $\alpha_1,\alpha_2$ は平行ではなく、ともに点 $\mathrm{A}$ を含む。よって、条件を満たす点は2つの平面の交線上、つまり、直線 $\mathrm{AP}$ 上にある。
また、 $(s,t,u)=(2,4,1),\left(3,3,1\right)$ は、どちらも、$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす。それぞれの値で定まる平面 $\mathrm{LMN}$ を $\alpha_3,\alpha_4$ とすると、2つの平面 $\alpha_3,\alpha_4$ は平行ではなく、ともに点 $\mathrm{C}$ を含む。よって、条件を満たす点は2つの平面の交線上、つまり、直線 $\mathrm{CP}$ 上にある。
$\mathrm{A,P,C}$ は同一直線上にないので、共有点は1点のみだから、条件を満たす点 $\mathrm{P}$ はただ一つであることがわかる。（終）
解答編 つづき
問題
(2) 四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を $V$ とする。(1)における点 $\mathrm{P}$ について、四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積を $V$ を用いて表せ。
解答
(2)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}\vec{a} +\frac{2}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c}
\end{eqnarray}であり、係数の和は $\dfrac{3}{2}$ なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA'}}=\dfrac{3}{2} \vec{a} \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{OB'}}=\dfrac{3}{2} \vec{b} \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{OC'}}=\dfrac{3}{2} \vec{c} \\[5pt]
\end{eqnarray}とすると、点 $\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{A'B'C'}$ 上にある。よって、三角形 $\mathrm{ABC}$ を底辺と考えると、 $\mathrm{O}$ までの高さと $\mathrm{P}$ までの高さの比は $1:\dfrac{1}{2}$ なので、四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積は $\dfrac{1}{2}V$ …（答）
