京都大学 理系 2025年度 第3問 解説

問題編

問題

　$e$ は自然対数の底とする。 $x\gt \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において定義された次の関数 $f(x),g(x)$ を考える。
\begin{eqnarray} f(x) &=& x^2\log x \\[5pt] g(x) &=& x^2\log x-\dfrac{1}{1+2\log x} \\[5pt] \end{eqnarray}

実数 $t$ は $t\gt\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ を満たすとする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線に垂直で、点 $(t,g(t))$ を通る直線を $l_t$ とする。直線 $l_t$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $p(t)$ とする。 $t$ が $\dfrac{1}{\sqrt{e}}\lt t\leqq e$ の範囲を動くとき、 $p(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ。

考え方

関数自体は複雑ですが、問題文に従って $p(t)$ を $t$ の関数で表し、範囲を考えるという流れは見えやすいです。計算間違いしないように頑張りましょう。

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解答編

問題

　$e$ は自然対数の底とする。 $x\gt \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において定義された次の関数 $f(x),g(x)$ を考える。
\begin{eqnarray} f(x) &=& x^2\log x \\[5pt] g(x) &=& x^2\log x-\dfrac{1}{1+2\log x} \\[5pt] \end{eqnarray}

実数 $t$ は $t\gt\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ を満たすとする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線に垂直で、点 $(t,g(t))$ を通る直線を $l_t$ とする。直線 $l_t$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $p(t)$ とする。 $t$ が $\dfrac{1}{\sqrt{e}}\lt t\leqq e$ の範囲を動くとき、 $p(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ。

解答

\begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\log x+x^2\cdot\frac{1}{x} \\[5pt] &=& x(2\log x+1) \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $x\gt \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、 $f'(x)\ne 0$ なので、直線 $l_t$ の傾きは\[ -\frac{1}{t(2\log t+1)} \]と書ける。よって、直線 $l_t$ の方程式は、次のように書ける。 \begin{eqnarray} y-g(t) &=& -\frac{1}{t(1+2\log t)} (x-t) \end{eqnarray}点 $(0,p(t))$ は $l_t$ 上の点なので、 \begin{eqnarray} -g(t) &=& -\frac{1}{t(1+2\log t)} (p(t)-t) \\[5pt] p(t)-t &=& t(1+2\log t) \cdot g(t) \\[5pt] p(t) &=& t+t(1+2\log t) \left( t^2\log t-\dfrac{1}{1+2\log t} \right) \\[5pt] &=& t^3\log t(1+2\log t) \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。ここで \begin{eqnarray} & & p'(t) \\[5pt] &=& 3t^2\log t(1+2\log t) +t^3\cdot\frac{1}{t}\cdot(1+2\log t) +t^3\log t\cdot\frac{2}{t} \\[5pt] &=& 3t^2\log t(1+2\log t) +t^2(1+2\log t) +2t^2\log t \\[5pt] &=& t^2 \left\{ 3\log t +6(\log t)^2 +1+2\log t +2\log t \right\} \\[5pt] &=& t^2 \left\{ 6(\log t)^2 +7\log t +1 \right\} \\[5pt] &=& t^2 (6\log t+1)(\log t+1) \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $\dfrac{1}{\sqrt{e}}\lt t\leqq e$ のとき、 $-\dfrac{1}{2}\lt \log t\leqq 1$ なので、 $\log t+1\gt 0$ が成り立つ。また、 $6\log t+1$ は $t=e^{-\frac{1}{6}}$ のときにだけ $0$ となる。よって、増減表は以下のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} x & \frac{1}{\sqrt{e}} & \cdots & e^{-\frac{1}{6}} & \cdots & e \\ \hline p'(x) & \times & - & 0 & + & \\ \hline p(x) & \times & \searrow & & \nearrow & \end{array}

ここで、 $p(t)=t^3\log t(1+2\log t)$ に代入すると
\begin{eqnarray} p\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) &=& 0 \\[5pt] p\left(e^{-\frac{1}{6}}\right) &=& e^{-\frac{1}{2}} \cdot\left(-\frac{1}{6}\right) \left\{1+2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\right\} \\[5pt] &=& -\frac{1}{\sqrt{e}} \cdot\frac{1}{6} \cdot\frac{2}{3} \\[5pt] &=& -\frac{1}{9\sqrt{e}} \\[5pt] p\left(e\right) &=& e^3\cdot 1 \cdot (1+2\cdot 1) = 3e^3 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、 $p(t)$ の取りうる値の範囲は、\[ -\frac{1}{9\sqrt{e}} \leqq p(t) \leqq 3e^3 \]…（答）